数ⅠA：組み合わせ：道順（最短経路）：縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？

数ⅠA：組み合わせ：道順（最短経路）

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（１）縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？
（２）また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？
（３）下図でDを経由しないでBへ行く最短経路は何通りか？

ポイント
・右、上　にしか進まない。（戻らない：左、下は無い）
・右に行ける回数、上に行ける回数は決まっている。
・何回目に上に行くかを決めれば、そのほかは自動的に右。


それでは、解いてみましょう＾＾/

 

（１）縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？

まず、何回上に行けるでしょうか？

 　３回ですね。

では、何回右に行けるでしょうか？

　４回ですね。

合計何回移動するでしょうか？

　７回ですね。


１回目を①、２回目を②、・・・・、７回目を⑦とすると、
例えば・・・

最初に一番上までいって、右まで行くなら、
①②③④⑤⑥⑦
上上上右右右右


最初に一番右まで行って、最後に上に３回進むなら、


①②③④⑤⑥⑦
右右右右上上上

となりますね。

つまり、何回目が上か？という組み合わせなんですね。
例えば、②回目と⑤回目と⑥回目に上に行くのであれば、あとは、全部右しかないのです。
①②③④⑤⑥⑦
□上□□上上□

だから、
７回のうち３回を選んでそこに上を入れる組み合わせ。
（＝７回のうち４回を選んでそこに右を入れる組み合わせ。）
①②③④⑤⑥⑦
□☆□□☆☆□
　↑　　　↑↑　　
　上　　　上上
□には自動的に右。
7C3＝（７・６・５）/(３・２・１）=７・５＝３５通り

（２）また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？

これは、AからC、そしてCからBと分けて考え、
同時に起こるのでそれらの積と考えるよ。

では、AからCは合計何回進み、上は何回でしょうか？

　合計：１+3＝4回
　上：１回

だから、nCrを使って、

4C1=4通り　　だね。


同じように、CからBを考えると、

　合計：2+1＝3

３C2＝３通り

これらの積がC経由の最短距離だから、

３×４＝１２通り 

（３）下図でDを経由しないでBへ行く最短経路は何通りか？
 









これは、（全体）－（Dを通る場合）で求められるんだ。

Dを通る場合は、どう考えようか？
下のポイントE,Fを通る場合の積だよ。

  














では、最初にDを通る場合の数を考えてみよう。
これは（２）と同じ考えだね。

AからEは
２C1=２通り

EからFは、
１通り

FからBは
４C1＝４通り

　だから、これらは同時に起こるので積なので、

２×１×４＝８通り

　これがDを経由する場合の数だね。


ではDを通らない場合の数を求めてみよう。
 これは、
（全体）－（D経由）
だったね。

（全体）の場合の数は、（１）で求めたね。（AからBまでの最短経路）

全体： ３５通り

よって、
 （全体）－（D経由）
＝３５－８
＝２７通り

でした！

お疲れ様でした☆

 ＞ⅠA:順列：辞書式配列：『P,O,W,E,Rを辞書式に配列したとき、POWERは何番目？』(高１）
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