ⅡB：不等式の証明『|x|+1≧|x＋1|』：式と証明（高２）

『|x|+1≧|x＋1|』はどうやって解くのか。
（ブログの都合上、Aの２乗は、A^2）

不等式の証明は　A＾２　≧　B＾２　より　A＾２ － B＾２≧０
をつかって、平方完成しよう。（２乗を使わなくってもいい）
その式が自明（パッと見だれでも納得のとこまでもっていく。）不等号の証明。
そして、等号が成り立つ条件を書く。

今回は、絶対値がついてるから、２乗のを使おう。

解法）
(左辺)^2 - (右辺)^2=(|x| +1)＾２ - (|x+1|)＾２≧0   ：絶対値の２乗は必ず正だから、絶対値ははずれるよ。


（左辺）＝x^2+2|x|+1-x^2-2x-1

＝2|x|-2x
＝2(|x|-x)≧0　　　　　　　　　

|x|≧x  ・・・①                      ：自明。ｘが正のときは、＝だし、負のときは＞だよね。


これより、最初の計算式から、
(|x| +1)＾２ - (|x+1|)＾２≧0
(|x| +1)＾２ ≧ (|x+1|)＾２

となって、この２乗がとれれば、証明終了だね。
とれる条件は、

(|x| +1)≧0　,  (|x+1|)≧0      ：成り立つから

|x|+1≧|x＋1|

またここで、等号がなりたつ条件も書くよ。

①より、|x|≧x　は、
ｘ≧0　のとき

|x|=x

証明終了。

おつかれさまでした。

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A＾２　≧　B＾２　のあとに、A≧Bとする前に、
A≧0とB≧0を書かなければいけないのはなぜか。
例えば、
２５≧９　は、
５＾２≧３＾２　　　　　　　・・・②　で成り立つけれど、
（－５）＾２≧（－３）＾２　・・・③　でも成り立つよね。

②は、５≧０,　３≧０　だから
○　５≧３　は成り立つね。

でも③は、-5≦0, -3≦0 となり、
×　-5≧-3　これはおかしいね。
つまりA,Bが負なら、A＾２　≧　B＾２がなりたっても、A≧Bが成り立たないってこと。

だから、
A＾２　≧　B＾２　　⇒　A ≧ B (A≧0, B≧0)

上の右矢印が成り立つときは（　）内の条件が必要なんだよ。

『逆は必ずしも真ではない！！』

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