数ⅠA：組み合わせ：道順（最短経路）：縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？

数ⅠA：組み合わせ：道順（最短経路）

動画での解説もチェックしてね！

（１）縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？
（２）また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？
（３）下図でDを経由しないでBへ行く最短経路は何通りか？

ポイント
・右、上　にしか進まない。（戻らない：左、下は無い）
・右に行ける回数、上に行ける回数は決まっている。
・何回目に上に行くかを決めれば、そのほかは自動的に右。


それでは、解いてみましょう＾＾/

 

（１）縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？

まず、何回上に行けるでしょうか？

 　３回ですね。

では、何回右に行けるでしょうか？

　４回ですね。

合計何回移動するでしょうか？

　７回ですね。


１回目を①、２回目を②、・・・・、７回目を⑦とすると、
例えば・・・

最初に一番上までいって、右まで行くなら、
①②③④⑤⑥⑦
上上上右右右右


最初に一番右まで行って、最後に上に３回進むなら、


①②③④⑤⑥⑦
右右右右上上上

となりますね。

つまり、何回目が上か？という組み合わせなんですね。
例えば、②回目と⑤回目と⑥回目に上に行くのであれば、あとは、全部右しかないのです。
①②③④⑤⑥⑦
□上□□上上□

だから、
７回のうち３回を選んでそこに上を入れる組み合わせ。
（＝７回のうち４回を選んでそこに右を入れる組み合わせ。）
①②③④⑤⑥⑦
□☆□□☆☆□
　↑　　　↑↑　　
　上　　　上上
□には自動的に右。
7C3＝（７・６・５）/(３・２・１）=７・５＝３５通り

（２）また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？

これは、AからC、そしてCからBと分けて考え、
同時に起こるのでそれらの積と考えるよ。

では、AからCは合計何回進み、上は何回でしょうか？

　合計：１+3＝4回
　上：１回

だから、nCrを使って、

4C1=4通り　　だね。


同じように、CからBを考えると、

　合計：2+1＝3

３C2＝３通り

これらの積がC経由の最短距離だから、

３×４＝１２通り 

（３）下図でDを経由しないでBへ行く最短経路は何通りか？
 









これは、（全体）－（Dを通る場合）で求められるんだ。

Dを通る場合は、どう考えようか？
下のポイントE,Fを通る場合の積だよ。

  














では、最初にDを通る場合の数を考えてみよう。
これは（２）と同じ考えだね。

AからEは
２C1=２通り

EからFは、
１通り

FからBは
４C1＝４通り

　だから、これらは同時に起こるので積なので、

２×１×４＝８通り

　これがDを経由する場合の数だね。


ではDを通らない場合の数を求めてみよう。
 これは、
（全体）－（D経由）
だったね。

（全体）の場合の数は、（１）で求めたね。（AからBまでの最短経路）

全体： ３５通り

よって、
 （全体）－（D経由）
＝３５－８
＝２７通り

でした！

お疲れ様でした☆

 ＞ⅠA:順列：辞書式配列：『P,O,W,E,Rを辞書式に配列したとき、POWERは何番目？』(高１）
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動画での解説もチェックしてね！

ⅠA：2次不等式の範囲

ⅠA：2次不等式の範囲　

題：ax²+bx+4>0の解が-1<x<2のとき、a,b求めよ。

　　　☆ポイント☆　　　
・α＜ｘ＜βの範囲は、（ｘ－α）（ｘ－β）＜０　　
・ｘ＜α,　β＜ｘの範囲は （ｘ－α）（ｘ－β）＞０ 
　のどちらかを展開して近づけていき、　　　　　 
係数比較をする。　　　　　　　　　　　　　　　　    


　今回の問題は-1<x<2　なので、この形。

　上の図の形から、

－１＜ｘ＜２　は、
（ｘ＋１）（ｘ－２）＜０

　展開して、

x²　-ｘ　-2　＜０

　 ax²+bx+4>0の不等号の向きから
　”－１”をかけると、

-x²　+ｘ　+2　＞０

　定数項が２だが、 ax²　+bx　+4　>0　の定数項に合わせるためには、
　×”２”をする。

-2x²　+2ｘ　+4　＞０ 

　ax²　+bx　+4　＞０　と係数比較をすると、

a = -2
b = 2

でした。

お疲れ様でした＾＾ｖ

＞＞不等式を満たす整数解へ
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ⅠA:数と式：整数部分と小数部分：4+√７ の整数部分をa、小数部分をb として表せ。

整数部分と小数部分の問題。

問題：4+√7の整数部分をa、小数部分をb　として表せ。

ポイント
・ルートの数を平方数（二乗された数）ではさむ。
・問題の式に近づけていく。　　　　　　　　　　

今回は、√7のおおよその数を知りたい。覚えていなくても大丈夫！

一番近い平方数ではさむと、

√4＜√7＜√9

２＜√7＜３

　　　√７は２と３の間の数、２．○○なんだね。


それぞれに４を足して問題の式に近づけると・・・

4+２＜4+√7＜4+３

６＜４+√7＜７

　
　 ４+√7　は、６と７の間の数、６．○○なんだね。




だから、
整数部分は、

a=6

小数部分は、

６．○○ - ６　＝0.○○　となるので、

b =  (４+√7) - 6
b = - 2 +√7


整数部分　a=6

小数部分　b =  - 2 +√7

お疲れ様でした。

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【FIXIT　DAILY BASIC ホエイプロテイン】

ⅠA:不等式と方程式：絶対値の場合分け：P=|2x-1|+|x-2|を絶対値記号を使わずに表せ。

ⅠA:不等式と方程式：絶対値の場合分け：P=|2x-1|+|x-2|

絶対値の外し方はどうするのでしょうか？

　ポイント　
・絶対値の中が0になるｘを考える
・そのｘの範囲で区切って場合分けする。 

問題：
P=|2x-1|+|x-２|を絶対値を使わずに表せ。

今回の場合は、
ｘ＝ 1 2 ,2
が絶対値の中身が0になる値ですね。

その範囲で区切ると、

( i ) ｘ ＜12　
( ii ) 1 2  ≦x ＜2
( iii ) 2 ≦ｘ
の範囲に分けられますね。

     ～イコールはどこにつけるの？～
　　　　この不等号のイコールのつけ方は、
　　　単に未満と以上の言葉にあわせているだけです。
　　　　全部にイコールがついていても間違いではないです。
　　　重複して含むことになるので、どちらかに含ませるのが普通ですが、。
　　　　イコールを全部につけないのは間違いです。
　　　どこかに境目の値（ 1 2 や2)は含めないと２の場合は？となるからです。

では、 さっそく解いてみましょう。

( i ) ｘ ＜ 1 2 　のとき、

 P=|2x-1|+|x-2|
　　は 、
　　　例えばｘ ＜ 1 2 を満たすｘの値、
　　０でも、-10でも何でもいいのですが、代入してみると

　　 |2x-1|=|0-1|=|-1|
　　のように必ず絶対値の中がマイナスになりますね。
 　　なので、いつもプラスにするためマイナスをかけると、 |2x-1|は
　　-(2x-1)　となります。

　　 |x-2|＝|0-2|=|-2|
     より、いつもプラスにするためマイナスをかけます。
　　 -(x-2)です。

よって、
　　 P=|2x-1|+|x-2|
　　　＝｜（-）｜　+　｜（-）｜

P= -(2x-1) -  (x-2) ・・・（ ｘ ＜ 1 2 ）

 ( ii ) 1 2 ≦ x ＜2　のとき
 
 P=|2x-1|+|x-2|
　　は 、
　　　例えば) 1 2  ≦x ＜2　を満たすｘの値、
　　１などを、代入してみると、
　　P＝｜2-1｜+｜1-2｜
      ＝ | 1 | + | -1 |
      ＝｜（+）｜　+　｜（-）｜

P＝(2x-1) - (x-2)　・・・（ 1 2  ≦x ＜2）

( iii ) 2 ≦ｘ　のとき

あとは、
  最初に、P=|(-)| + |(-)|
　次に、　P=|(+)| + |(-)|
　ときたので、P=|(+)| + |(+)|　しかないとわかるのですが、

　同じように　２≦ｘ　の具体的な数字を代入してみると、
　例えば　１０など。
　P=｜２０－１｜+｜１０－２｜＝｜１９｜+｜８｜＝｜(+)｜ + ｜(+)｜
　よって、

P = (2x-1) + (x-2) ・・・　（２≦ｘ）

（ i )～（ iii )より、
 P＝-(2x-1) - (x-2) ・・・（ ｘ ＜ 1 2 ）
 P＝ (2x-1) - (x-2)　・・・（ 1 2 ≦x ＜2）
 P＝ (2x-1) + (x-2) ・・・　（２≦ｘ）

お疲れ様でした☆（^ - ^  )
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