数ⅠA：組み合わせ：道順（最短経路）：縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？

数ⅠA：組み合わせ：道順（最短経路）

動画での解説もチェックしてね！

（１）縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？
（２）また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？
（３）下図でDを経由しないでBへ行く最短経路は何通りか？

ポイント
・右、上　にしか進まない。（戻らない：左、下は無い）
・右に行ける回数、上に行ける回数は決まっている。
・何回目に上に行くかを決めれば、そのほかは自動的に右。


それでは、解いてみましょう＾＾/

 

（１）縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？

まず、何回上に行けるでしょうか？

 　３回ですね。

では、何回右に行けるでしょうか？

　４回ですね。

合計何回移動するでしょうか？

　７回ですね。


１回目を①、２回目を②、・・・・、７回目を⑦とすると、
例えば・・・

最初に一番上までいって、右まで行くなら、
①②③④⑤⑥⑦
上上上右右右右


最初に一番右まで行って、最後に上に３回進むなら、


①②③④⑤⑥⑦
右右右右上上上

となりますね。

つまり、何回目が上か？という組み合わせなんですね。
例えば、②回目と⑤回目と⑥回目に上に行くのであれば、あとは、全部右しかないのです。
①②③④⑤⑥⑦
□上□□上上□

だから、
７回のうち３回を選んでそこに上を入れる組み合わせ。
（＝７回のうち４回を選んでそこに右を入れる組み合わせ。）
①②③④⑤⑥⑦
□☆□□☆☆□
　↑　　　↑↑　　
　上　　　上上
□には自動的に右。
7C3＝（７・６・５）/(３・２・１）=７・５＝３５通り

（２）また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？

これは、AからC、そしてCからBと分けて考え、
同時に起こるのでそれらの積と考えるよ。

では、AからCは合計何回進み、上は何回でしょうか？

　合計：１+3＝4回
　上：１回

だから、nCrを使って、

4C1=4通り　　だね。


同じように、CからBを考えると、

　合計：2+1＝3

３C2＝３通り

これらの積がC経由の最短距離だから、

３×４＝１２通り 

（３）下図でDを経由しないでBへ行く最短経路は何通りか？
 









これは、（全体）－（Dを通る場合）で求められるんだ。

Dを通る場合は、どう考えようか？
下のポイントE,Fを通る場合の積だよ。

  














では、最初にDを通る場合の数を考えてみよう。
これは（２）と同じ考えだね。

AからEは
２C1=２通り

EからFは、
１通り

FからBは
４C1＝４通り

　だから、これらは同時に起こるので積なので、

２×１×４＝８通り

　これがDを経由する場合の数だね。


ではDを通らない場合の数を求めてみよう。
 これは、
（全体）－（D経由）
だったね。

（全体）の場合の数は、（１）で求めたね。（AからBまでの最短経路）

全体： ３５通り

よって、
 （全体）－（D経由）
＝３５－８
＝２７通り

でした！

お疲れ様でした☆

 ＞ⅠA:順列：辞書式配列：『P,O,W,E,Rを辞書式に配列したとき、POWERは何番目？』(高１）
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動画での解説もチェックしてね！

数IA:確率:10枚のカードに0から9までの数字が書かれている。三枚同時に抜き出したとき、３つの和が３の倍数である確率

数IA:確率:
10枚のカードに0から9までの数字が書かれている。
三枚同時に抜き出したとき、３つの和が３の倍数である確率。

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
の数字を、
三つに分類してみよう！

①3の倍数
{ｘ＝3n：0,3,6,9｝

②3の倍数＋１
{y＝3n+1：1,4,7}

③3の倍数＋２
{z＝3n+2：2,5,8}

では、
１０枚の中から引かれた３枚をa,b,cとすると、

(a,b,c)　　となるわけだけど、

a+b+c=３m となるには、

x,y,zをどう組み合わせればいいかな？

ⅰ）①＋②＋③のパターン
(a,b,c)=(x,y,z)=(3n,3n+1,3n+2)
だと、
a+b+c=3n+(3n+1)+(3n+2)=9n+3=3(3n+1)=3m
と、３の倍数になるので、

分子は、
{ｘ＝3n：0,3,6,9｝から 1つ
4C1=4通り
と、
{y＝3n+1：1,4,7}から 1つ
3C1=3通り
と、
{z＝3n+2：2,5,8}から 1つ
3C3=3通り
が 、同時に起こる。

分母は、10C3=(10・9・8)/(3・2・1)=5・3・8=120通り

4・3・3 120 ＝ 36 120


ⅱ）①×３ or ②×３ or　③×３のパターン

(a,b,c)=(x,x,x)=(3n,3n,3n)
a+b+c=3n+3n+3n=3(3n)=3m
or
(a,b,c)=(y,y,y)=(3n+1,3n+1,3n+1)
a+b+c=(3n+1)+(3n+1)+(3n+1)=3(3n+1)=3m
or
(a,b,c)=(z,z,z)=(3n+2,3n+2,3n+2)
a+b+c=(3n+2)+(3n+2)+(3n+2)=3(3n+2)=3m
 なので、

(x,x,x)は、
{ｘ＝3n：0,3,6,9｝から 3つ
4C3=4C1=4通り
より、
4 120

(y,y,y)は、
{y＝3n+1：1,4,7}から 3つ
3C3=1通り
1 120


（z,z,z)は、
{z＝3n+2：2,5,8}から 3つ
3C3=1通り
1 120

(a,b,c)が、同時に(x,x,x)と(y,y,y)と(z,z,z)にならないから、

4 120 ＋ 1 120 ＋ 1 120 ＝ 6 120

ⅰ）とⅱ）から、


36 120 ＋ 6 120 ＝ 42 120 ＝ 7 20

でした！！
お疲れ様！（^0^)/

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ⅠA:順列：整数：『0,1,2,3,4,5,6』の７個の数字から、異なる４個の数字を選び、４桁の整数を作る。(1)4桁の整数。(2)奇数。(3)偶数。

題：『0,1,2,3,4,5,6』の７個の数字から、異なる４個の数字を選び、
４桁の整数を作る。
(1)4桁の整数。(2)奇数。(3)偶数。

↑動画解説はこちらから↑

　ポイント：特殊な条件のところを先に決めてしまおう！

(1)4桁の整数
ABCDの４桁とすると、Aには「１,2,3,4,5,6」のどれか一つが入り、それは６通り。
（Aの千の位が特殊な場所だね。ex/0123,0425は４桁じゃないから0は除くんだね。）

残りBCDには「0とAで使わなかった５つの数字」「0,?,?,?,?,?,a」の６つから３つを並べて、


6P3=６・５・４=120通り。

これのかけ算！（AとBCDは同時に起こるよ。）

６（A）・6P3（BCD）=６・１２０=７２０通り。・・・・（答え）

別解）
0を含む４桁の整数は、
「7P4 =７・６・５・４=840通り」
0が先頭の場合は、0XXXと0を除く６つを３つに並べて、
「6P3=６・５・４=120通り。」
これを除くから・・・

7P4-6P3=840-120=720通り。
でもOK！

（２）奇数。
ABCDの４桁で、
ⅰ)Dには『0,1,2,3,4,5,6』（1,3,5）の３通りが入るね。（一の位が奇数）

ⅱ）Aには、0と（ⅰ）の数字以外の５通りが入るね。
（ここで、ⅰの方がⅱよりもより特殊だよ。
Aの千の位を先に考えると、Dを考えるとき、Aが奇数→Dに入る奇数は残り２つ、
Aが偶数→Dに入る奇数は残り３つ。と場合分けが生じてくるね。）

ⅲ）残りのBCは、残りの５つの数字を２つ並べるので、

5P2=５・４=20通り。

ⅰ,ⅱ,ⅲは、同時に起こるから、かけ算！
D・A・BC＝３・５・2０＝300通り。　・・・・（答え）


(3)偶数。
ABCDの４桁で、


ⅰ)一の位Dが２か４か６のときは、
Dが3通り。
Aが、０とⅰで選ばれたどちらかの数字以外の、残りの５通り。
残りのBCは、『0,a,d,?,?,?,?』残りの５つから２つ並べて、5P2=５・４=20通り。

よって、
D・A・BC＝３・５・2０＝300通り。
ここまでは、奇数と同じパターンでしたね。

ⅱ）一の位が０の時、
Dは、０の１通り。
ABCは残りの『1,2,3,4,5,6』６つから３つを並べて、6P3=６・５・４=120通り。
(A千の位の0を考えなくていいんだね。D一の位で0を使っているから！)　

ⅰ（？？？２、？？？４、？？？６）と、ⅱ（？？？０）は、
同時に起こらないので、たし算！

３・５・5P2 + 6P3 =300 + 120 =420通り。　・・・（答え）

別解）全体と片方がわかっていれば・・・


（１）４桁の整数７２０＝（２）４桁の奇数３００　＋　（３）４桁の偶数４２０　なので、


（３）の４桁の偶数を求めるときは、
　　＝（１）４桁の整数７２０　－　（２）４桁の奇数３００　
（２）の４桁の奇数を求めるときは、
　　＝（１）４桁の整数７２０　－　（３）４桁の偶数４２０
ですね。

これで整数の順列はバッチリ！！
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↑動画解説はこちらから↑

ⅠA：場合の数：二項定理：『（a-3b)^5,[a^2b^3]の係数』（高１）

題：『(a-3b)⁵を展開したときの、[a²b³]の係数』

二項定理をみておこう。

(a+b)ⁿ=_nC₀aⁿb⁰+_nC₁a^n-1b¹+・・・+_nC_ra^n-rb^r+・・・+_nC_na⁰bⁿ


この_nC_ra^n-rb^rに注目しよう！
要するに、_nC_rの部分のnとｒがわかれば解ける！

ｎは、(a+b)ⁿのnと同じ。

ｒは、求めたい、ｂの指数。（もしくは、n-”aの指数 ”)
つまり、
(a+b)⁸で、[a³b⁵]なら、r=5.(r =8-3)→_８C_５
(a+b)¹²で、[a¹⁰b²]なら、r=2.(r =12-10)→_１２C_２
(x+1)⁶で、[x⁴]なら[x⁴1²]より、r=2.(r =6-4)→_６C_４


それでは、本題。
問題：『(a-3b)⁵を展開したときの、[a²b³]の係数』を求めよ。
解法）

_５C_３(a)^２(-3b)^{３ 　　　　　　　　　　　;}文字aとbはa²b³となり、係数ではないので省く。

（５・４・３/３・２・１）・(１)^２・(-3)^３
＝１０・（－２７）　　　　　　　　
＝－２７０

おしまい。

ポイント）(a-3b)⁵から後ろをチョイスするとき、
(-3b)^３ と、「符号と係数」を持ってくるのを、お忘れなく！

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JJ ENGLISH エクササイズ

ⅠA：場合の数：正の約数の個数：『７２０の正の約数の個数と約数全体の和』（高１）

正の約数の個数は、
①素因数分解する。
②各々の（次数＋１）の積。
で求めるよ。

例えば・・・
４５=３²×５
ならば、
（２＋１）（１＋１）＝３・２＝６個。
なぜ＋１するのかというと、０乗である１を考える必要があるからです。
つまり・・・、（５は０乗と１乗を考え、３は０、１、２乗を考える。）
３⁰×５⁰ =1×１＝１
３⁰×５^１=1×５＝５

３^１×５⁰ =３×１＝３

３^１×５^１=３×５＝１５

３^２×５⁰ =９×１＝９

３^２×５^１=９×５＝４５

の（１,３,５,９,１５,４５）６個だからです。＋１しなきゃいけないね。

題１：『７２０の正の約数の個数を求めよ』

動画で解説してみたよ↓


解答）
①７２０を素因数分解すると・・・

2 )720
2 )360
2 )180
2 ) 90
3 ) 45
3 ) 15
      5

よって、
720 = 2⁴ × 3² × 5

②これは、
（4＋１）・（２＋１）・（１＋１）＝５・３・２＝３０個
でした。

題２：『７２０の正の約数全体の和を求めよ』

解答）

（１＋2^１＋2^２＋2³＋2⁴）・（１＋3^１＋3^２）・（１＋５）  　←このかたちが大事！

　　　　　　↑分配すると１＋２＋３＋４＋５＋６＋８＋・・・＋７２０と出てくるでしょ。

=(1+2+4+8+16)・(1+3+9)・(6)

=31・13・6=2418

でした！

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ⅠA:順列：辞書式配列：『P,O,W,E,Rを辞書式に配列したとき、POWERは何番目？』(高１）

辞書式配列は、先頭の文字を決めて、残りの順列を考えるよ。


題：『P,O,W,E,Rを辞書式に配列したとき、
　　　POWERは何番目？』

『RAMEN』と『APPLE』の辞書式配列は動画で解説してます。見てみてね！

解答）
辞書式だから、アルファベット順ということだね。
つまり、最初の並びは、
EOPRW　で、
次が、
EOPWR　だね。


まず、先頭がEで続く順列を考えよう。

E＊＊＊＊　　・・・この＊には、E以外の残りの４つを並べるので（O,P,R,W）

４！＝４・３・２・１＝２４通り

次に、Oは、
O＊＊＊＊　　・・・なので、同じで

４！＝２４通り

次は、P。
だから、Pで始まる最初の文字列は２４＋２４＝４８の次だから４９番目になるけれど、
それは、置いといて・・・・

PE＊＊＊　が　
３！＝３・２・１＝６通り

POE＊＊　が
２！＝２通り

POR＊＊　が
２！＝２通り

POW＊＊　は、POWER、POWREとなるので、
このPOW＊＊の最初の文字が、POWER。

だから、
２４＋２４＋６＋２＋２＝５８番目の次が、POWER。
よって、

５８＋１＝５９番目

が答え。

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