『（１）Ｓ6とＳ3のようにｎが二倍の関係、（２）Ｓ3とＳ2がわかっている』
まず、等比数列の公式を見てみよう。
初項a,公比r (r≠1)
一般項:an=arr-1
和：
(1)ポイント
大抵
のように割るとうまくいくよ。そして、分子を因数分解して分母と同じ因数を分子に作り出して、分子を無くすんだ。
実際に見てみよう。
(1)Ｓ6=84,Ｓ3=3のときの初項aと公比rを求めよ。
後述のために、約分して消えるので、
と置くよ。すると、
となるね。また、
だね。だから、
ここで、a2-b2=(a-b)(a+b)の因数分解を使うために、
r6=(r3)2だから、
分子は、
1-r6=12-(r3)2=(1-r3)(1+r3 ) となり、
S6=84,Ｓ3=3だから、
と、このように、大抵の問題は割り切れるようにつくられています^^;
で、移行すると、
1+r3=28
r3=27
と、累乗根も計算できるように作られています^^;
よって、
r=3。
あとは、簡単な方のＳ3に代入して、初項aを求めるよ。
13a=3より、
でした！（２）Ｓ3=7,Ｓ2=3のときの、初項aと公比rをもとめよ。
ポイント
同じように、
と割るんだけど、この場合の因数分解して残ったｒの式は、二次方程式(解ｒ：-（α+β）＝αβ）になるよ！
つまり、一次と定数項の係数が一緒ってこと。
先ほどのように、
約分して消えるので、
と置くよ。Ｓ3=X(1-r3)
S2=X(1-r2) とすると、
因数分解三乗の公式
(a3-b3)=(a-b)(a2+ab+b2) より
(1-r3)=(1-r)(1+r+r2)
また、因数分解二乗の公式より
(1-r2)=(1-r)(1+r)
だから、
Ｓ3=7=X(1-r3)=Ｘ(1-r)(1+r+r2)
S2=3=X(1-r2)=Ｘ(1-r)(1+r)
どこが、約分されるかな？
両辺に 3(1+r) をかけると、
３（１＋ｒ＋r2）＝７（１＋ｒ）
３r2＋３ｒ＋３＝７ｒ＋７
３r2-４ｒ-４＝０
（３ｒ＋２）（ｒ－２）＝０
∴
初項aはｒをS2に代入して求めよう！
r=2のとき
3a=3
a=1
のとき
よって、
a=9
答えはまとめると、
r=2のとき,a=1
のときa=9でした！
因みに、ｒの式は、二次方程式(解ｒ：-（α+β）＝αβ）になる理由は、
を満たすｋが存在しなければならない。
すると、
r2+r+1=k(1+r)
r2+r-kr+1-k=0
r2+(1-k)r+(1-k)=0
解をα、βとしたときの二次方程式は、
(r-α)(r-β)=0
r2-(α+β)r+αβ=0
係数比較して、
(1-k)=-(α+β)
(1-k)=αβ
より
-(α+β)=αβ
となるのです！
なるほど～
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全国菓子博覧会栄誉大賞受賞
