ⅡB：因数定理：ω（オメガ）の問題：ｘ三乗＝１。（１）ω＾９＋ω＾６＋１（２）ω＾１０＋ω＾２０＋ω＾３０

ⅡB：因数定理：ω（オメガ）の問題：ｘ三乗＝１。
次の式を簡単にせよ。
（１） ω⁹ ＋ ω⁶＋１　　（２） ω¹⁰ ＋ω²⁰＋ω³⁰
解答は、”４．解答”から！
-----------------------------------------------------
ポイント：ωの問題は、次数下げ。
          答えの形は（aω²+bω+c　の二次か一次か定数となる。）

ω³＝１　(三次を0次に次数下げ)
ω²+ω+１＝０　
ω²＝ -ω-１ 　(二次を一次に次数下げ)
-----------------------------------------------------



ωの問題がわからない！という人も多いかな。
ここでは、
・ωとは何か。
・ωの問題は、どう解くか。
を見ていこう！

1.ωとは・・・
x³＝１の解です。

え？ｘ＝１が解じゃないの？と思いますか？
そうです。ｘ＝１は、実数解です。でも、他にも２つ解があるのです。（３乗だからね。）

その他の二つが虚数解なんです。それの片方をωと呼ぶのです。

2.どうしてか

x³＝１
x³-１＝０
ｘ＝１が、解だから・・・
（ｘ－１）（二次方程式）＝０
となりますね。

この二次方程式は、
（ｘ－１）（二次方程式）＝x³-１　　の両辺を（ｘ－１）で割ると、

（二次方程式）＝（x³-１）/（ｘ－１）

（二次方程式）＝（x³-１）/（ｘ－１）=x²+x+１ より

x³-１＝（ｘ－１）（x²+x+１）　となるね。

この（二次方程式）＝x²+x+１　の解は、解の公式を使うと・・・


この二つの解を、プラスをω、もう片方のマイナスを ω（オメガバー）となどとします。
だから、ωの正体は、
ω＝

よって、
x³-１＝（ｘ－１）（x²+x+１）＝（ｘ－１）（ｘ－ω）（ｘ－ ω）＝０　だね。

ここから重要な式が２つでるよ！

3.絶対覚えたい式

ωを解とすると、ｘ＝ωより

x³＝１
ω³＝１　(三次を0次に次数下げ)


（ｘ－１）（x²+x+１）＝（ｘ－１）（ｘ－ω）（ｘ－ ω）＝０　より、ωが解ならば、
（x²+x+１）＝（ｘ－ω）（ｘ－ ω）＝０　　　　・・・（ｘ－ω）にωを代入すれば成り立つ。
（x²+x+１）＝０　
ω²+ω+１＝０　

移行して
ω²＝ -ω-１ 　(二次を一次に次数下げ)


4.解答
では、問題を解いてみよう！

（１） ω⁹ ＋ ω⁶＋１　　（２） ω¹⁰ ＋ω²⁰＋ω³⁰


（１） ω⁹ ＋ ω⁶＋１　
＝（ω³）³ ＋ （ω³）²＋１
＝（１）³ ＋ （１）²＋１　　　　　・・・ω³＝１
＝１＋１＋１
＝３
でした！

（２）ω¹⁰ ＋ω²⁰＋ω³⁰
＝ω・（ ω³ ）³ ＋ ω²・（ω³）⁶＋（ω³）¹⁰
＝ω・（  １  ）³ ＋ ω²・（ １ ）⁶＋（ １ ）¹⁰
＝ω＋ ω²＋1　　　　　　　・・・ω²+ω+１＝０　
＝0

でした！

ポイントの3つの式を代入したり、
工夫して因数分解してから代入するなりして頑張ろう！

ω^ｋなどの場合は、
i)k=n
ii)k=n+1
iii)k=n+2
などと、３つに場合分けすると解けるよ。
（k=n+3がいらないのは、ωⁿ⁺³＝ω^ｎ・ω³＝ ω^ｎ なので、k=nと同じ扱いになるからだよ。）

次へ＞＞ ω（オメガ）の発展②：a=(1+√３i)/2、のとき、(1)a³ (2)a²-a+1を求めよ。


/////////////////////////////////////////////////////////////////////////