数ⅡB：群数列：マスターへの道その② 群数列の項数が等差数列をなす（a2022は、第何群の何番目か？）

 数2B：問題：群数列{an}が以下のように与えられている。

2,4 | 6,8,10,12 | 14,16,18,20,22,24| …|ak , ak+1, …,am|

第1群｜　　第2群　　｜　　　　　　第3群　　　　　｜　…｜　第x群　　｜　

（1）{an}の第x群の最後の項のamのmを求めよ。

（2）{an}の第x群の最初の項のakのkを求めよ。

（3）{an}の第x群の最初の項のakを求めよ。

（4）a2022は、第何群の何番目か？

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解説）

（1）{an}の第x群の最後の項のamのmを求めよ。

第1群、第2群、、、第x群のそれぞれに含まれる項数をならべてみよう。

第1群：2,4 ・・・2個

第2群：6,8,10,12・・・4個

第3群：14,16,18,20,22,24・・・6個

・

・

第x群：ak , ak+1, …,am ・・・2x個

よって、

第2群の12は第一群から数えて6番目（2個＋4個）のa6 だから、

第x群の最後の項のamのmは、

第1群から第x群までの項数の和となる。

だから、

m＝2＋4＋6＋…＋2x

になるね。

mは等差数列で、初項a=2,　末項ℓ＝2x, 項数n=x(個）なので、

　S＝n(a+ℓ)2

の等差数列の和の公式に代入すると、

m＝x(2+2x)2

m=x(x+1)

でした。

（2）{an}の第x群の最初の項のakのkを求めよ。

第（xー1）群の最後の項apの次が第x群の最初の項akになるね。

| …,ap|ak , ak+1, …,am|

|第(x-1)群｜       第 x 群          |

pの次がk つまり、

p+1＝k

だから

ap+1=ak

なので、まずは第（xー1）群の最後の項apのpを考えてみよう。

（1）で第x群の最後の項amは、

m=x(x+1)

と求めたね。

なので、第(x-1)群の最後の項apのpは、xに(x-1)を代入して、

p=(x-1)(x-1+1)

p=(x-1)x

第x群の最初の項akのkは、pの右隣なので1を足して、

p+1＝k　なので、

k=p+1=(x-1)x+1

ak=a(x-1)x+1

となるね。

つまり、答えは・・・

k＝x²-x+1

でした！

（3）{an}の第x群の最初の項のakを求めよ。

まずは、第1群や第2群、第3群の最初の項がどうなっているのかをみてみよう。

第1群：2,4 ・・・2

第2群：6,8,10,12・・・6

第3群：14,16,18,20,22,24・・・14

ぱっと見て法則性を見つけるのは難しそう。

（2）で第x群の最初の項akのk＝x²-x+1だったね。

第2群の最初の項はどうだろう？

k＝2²-2+1＝4-2+1=3

第2群の最初の項はa3で、

a3＝3×2＝6

第3群の最初の項はこうなるね。

k＝3²-3+1＝9-3+1=7

第3群の最初の項はa7で、

a7＝7×2＝14

kを2倍している！！

つまり、今回の数列は

ak＝2k

だね！

第x群の最初の項は、

k＝x²-x+1

なので、第x群の最初の項はax²-x+1で、

ax²-x+1＝(x²-x+1)×2=2x²-2x+2

答えは、

{an}の第x群の最初の項 ak＝2x²-2x+2

でした！

（4）a2022は、第何群の何番目か？

今回の数列は、

akのk＝x²-x+1

になっていたね。

2022に一番近くなりそうなxはなんだろう？

x²-x+1＝x(x-1)+1≒x²

だから、

x²

で、2022 に近い数を考えてみると、

いや、簡単のため 2000に近い数を考えてみると、

x²＝2000=20×100＝400×5

x=20√5≒20×2.2=44

だから、第44群にあるのかな？

第44群の最初の項akのkは、

k=44²-44+1=1936-44+1=1893

第44群の最初の項はa1893だね。

じゃあ、第45群の最初の項akのkはいくつだろう？

k=45²-45+1=2025-45+1=1981

第45群の最初の項はa1981だね。

第44群に含まれる項数は、1981-1893+1=89

なので、

第45群の最後の項はa1981＋89＋αとなり、kは2022を突破しているはず。

よって、第45群にa2022は含まれてるはずだね。

一応第46群の最初の項を調べてみると、

k=46²-46+1=2116-46+1=2071

で、

第46群の最初の項はa2071とやっぱり突破してた。

だから、第45群にa2022は含まれてる！！

第45群の最初の項はa1981だったね。

例として、第45群の第3項の3はどうやって求められるかな？

第45群の第1項：a1981

第45群の第2項：a1982

第45群の第3項：a1983

だから、

1983-1981+1=2+1=3

この3は第3項、つまり3番目ということなんだね。

では、

第45群の第1項：a1981

…

第45群の第y項：a2022

だから、yは・・・

y=2022-1981+1=42

42は第42項、つまり42番目ということなんだね。

だから、a2022は、

第45群の42番目

なんだ！！

お疲れ様でした！

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数ⅡB：群数列：マスターへの道その① 群数列の考え方

数2B:問題：{an}の群数列が以下のように与えられている。第x群の最後の項のamのmを求めよ。

a1　 |a2 , a3| a4 , a5 , a6|・・・|・・・|ak , ak+1, ・・・,am|

第1群｜第2群　｜　第3群　　｜　・・・　｜　・・・　｜　　　　第x群　　　　｜　

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何じゃこの群数列！？難しい！って思いますか？

一つ一つみていきましょう！

解説）

これは、第1群、第2群、・・・、に含まれるものを並べるとこうなるね。

第1群：a1・・・1個

第2群：a2 ,a3 ・・・2個

第3群：a4 ,a5 ,a6・・・3個

・

・

第x群：ak, ak+1, …,am・・・x個

次に、第x群の最後の項のmの数字を知るために、

まず具体的に考えてみよう。

第3群の最後の項は”a6”だけど、この6はどこからきているのかな？

それは、

（第1群の項数）＋（第2群の項数）＋（第3群の項数）

＝1＋2＋3＝6

と、第1群から第3群の項数の和から来ているね。

では、第x群の最後の項amのmの数はどうやって求められるかな？

同じように、

（第1群の項数）＋（第2群の項数）＋・・・・＋（第x群の項数）

 ＝1＋2＋3＋・・・＋（x - 1)＋x　= m　　

だね。

つまり、

第x群の最後の項のamのmは、

（第1群の項数）から（第x群の項数）までの和

となるんだ！！

今回は群数列の区切りかたが、等差数列になっているね。（別の数列の区切り方もある）

では、mを求めてみよう。

　m = 1＋2＋3＋・・・＋（x - 1)＋ x　

だから、

mは、初項a＝1、末項ℓ＝x、項数n＝x　の等差数列の和

等差数列の和の公式は、

S＝ n(a+ℓ) 2

なので、代入すると

m＝x(1＋ℓ)2

となるんだね。

お疲れ様でした。

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数ⅡＢ：等比数列：二つの和がわかっている問題：『（１）Ｓ6とＳ3のようにｎが二倍の関係、（２）Ｓ３とＳ２がわかっている』（高２）

数ⅡＢ：等比数列：二つの和がわかっている問題：
『（１）Ｓ₆とＳ₃のようにｎが二倍の関係、（２）Ｓ₃とＳ₂がわかっている』

まず、等比数列の公式を見てみよう。

初項a,公比r (r≠1)
一般項:a_n=ar^r-1
和：

(1)ポイント
大抵 のように割るとうまくいくよ。
そして、分子を因数分解して分母と同じ因数を分子に作り出して、分子を無くすんだ。

実際に見てみよう。

(1)Ｓ₆=84,Ｓ₃=3のときの初項aと公比rを求めよ。

後述のために、約分して消えるので、と置くよ。

すると、となるね。
また、だね。

だから、
ここで、a²-b²=(a-b)(a+b)の因数分解を使うために、

r⁶=(r³)²だから、

分子は、
1-r⁶=1²-(r³)²=(1-r³)(1+r³ ) となり、



S₆=84,Ｓ₃=3だから、


と、このように、大抵の問題は割り切れるようにつくられています^^;

で、移行すると、
1+r³=28
r³=27
と、累乗根も計算できるように作られています^^;

よって、
r=3。

あとは、簡単な方のＳ₃に代入して、初項aを求めるよ。



13a=3より、
でした！

（２）Ｓ₃=7,Ｓ₂=3のときの、初項aと公比rをもとめよ。

ポイント

同じように、と割るんだけど、
この場合の因数分解して残ったｒの式は、二次方程式(解ｒ：-（α+β）＝αβ）になるよ！
つまり、一次と定数項の係数が一緒ってこと。

先ほどのように、
約分して消えるので、と置くよ。

Ｓ₃=X(1-r³)
S₂=X(1-r²)　とすると、

因数分解三乗の公式
(a³-b³)=(a-b)(a²+ab+b²)　より
(1-r³)=(1-r)(1+r+r²)

また、因数分解二乗の公式より
(1-r²)=(1-r)(1+r)

だから、

Ｓ₃=7=X(1-r³)=Ｘ(1-r)(1+r+r²)
S₂=3=X(1-r²)=Ｘ(1-r)(1+r)


どこが、約分されるかな？



両辺に　3(1+r)　をかけると、

３（１＋ｒ＋r²）＝７（１＋ｒ）
３r²＋３ｒ＋３＝７ｒ＋７

３r²-４ｒ-４＝０
（３ｒ＋２）（ｒ－２）＝０

∴

初項aはｒをS₂に代入して求めよう！

r=2のとき


3a=3
a=1

のとき

よって、

a=9

答えはまとめると、

r=2のとき,a=1
のときa=9

でした！



因みに、ｒの式は、二次方程式(解ｒ：-（α+β）＝αβ）になる理由は、


を満たすｋが存在しなければならない。
すると、

r²+r+1=k(1+r)
r²+r-kr+1-k=0
r²+(1-k)r+(1-k)=0

　解をα、βとしたときの二次方程式は、
　(r-α)(r-β)=0
　r²-(α+β)r+αβ=0

係数比較して、
(1-k)=-(α+β)
(1-k)=αβ
より

-(α+β)=αβ
となるのです！

なるほど～

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数ⅡB：数列：等差数列：第10項が28、第20項が－52の等差数列。（１）一般項an。（２）第何項までの和が最大になるか。そのときのS。

数ⅡB：数列：等差数列：
第10項が28、第20項が－52の等差数列。
（１）一般項an。
（２）第何項までの和が最大になるか。そのときの和S。

等差数列の公式
a:初項。d：公差。L：末項
一般項：an=a+(n-1)d
和：


(1)第10項が28、第20項が－52の等差数列。
一般項an。

a₁₀=28=a+(10-1)d より
28＝a＋９ｄ


a₂₀=-52=a+(20-1)d より
-52＝a＋1９ｄ


初項aを消そう！
a₂₀-a₁₀は、
-52-28＝(a＋1９ｄ）-(a＋９ｄ)
-80=10d
∴ｄ＝-8

28＝a＋９ｄ　へ代入して
28＝a＋９（-８）
a=28+72=100

∴an=100＋(n-1)(-8)=100-8n+8=-8n+108
an＝-8n+108
です。

（２）①第何項までの和が最大になるか。②そのときの和S。


①第何項までの和が最大になるか。
　anの第ｎ項目が正ならば、和は最大なので、
一般項anに”＞０”をつけて、ｎを求めましょう。
an＝-8n+108＞０　


-8ｎ＞-108
ｎ＜13.5
よって、ｎの最大値は１３。

答え）第13項までの和が最大。


　一応、a₁₃=-8（13）+108＝-104+108＝4　＞０　　（a₁₃までは正）
　　公差ｄ＝-8なので、a₁₄＝a₁₃+ｄ＝4-8＝-4＜0　（a₁₄からは負）


②そのときの和S。




S=13(100+12(-4))=13(100-84)=13・16＝13・4・4＝52・4＝208
∴S=208


お疲れ様でした。
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