ⅠA:不等式と方程式：絶対値の場合分け：P=|2x-1|+|x-2|を絶対値記号を使わずに表せ。

ⅠA:不等式と方程式：絶対値の場合分け：P=|2x-1|+|x-2|

絶対値の外し方はどうするのでしょうか？

　ポイント　
・絶対値の中が0になるｘを考える
・そのｘの範囲で区切って場合分けする。 

問題：
P=|2x-1|+|x-２|を絶対値を使わずに表せ。

今回の場合は、
ｘ＝ 1 2 ,2
が絶対値の中身が0になる値ですね。

その範囲で区切ると、

( i ) ｘ ＜12　
( ii ) 1 2  ≦x ＜2
( iii ) 2 ≦ｘ
の範囲に分けられますね。

     ～イコールはどこにつけるの？～
　　　　この不等号のイコールのつけ方は、
　　　単に未満と以上の言葉にあわせているだけです。
　　　　全部にイコールがついていても間違いではないです。
　　　重複して含むことになるので、どちらかに含ませるのが普通ですが、。
　　　　イコールを全部につけないのは間違いです。
　　　どこかに境目の値（ 1 2 や2)は含めないと２の場合は？となるからです。

では、 さっそく解いてみましょう。

( i ) ｘ ＜ 1 2 　のとき、

 P=|2x-1|+|x-2|
　　は 、
　　　例えばｘ ＜ 1 2 を満たすｘの値、
　　０でも、-10でも何でもいいのですが、代入してみると

　　 |2x-1|=|0-1|=|-1|
　　のように必ず絶対値の中がマイナスになりますね。
 　　なので、いつもプラスにするためマイナスをかけると、 |2x-1|は
　　-(2x-1)　となります。

　　 |x-2|＝|0-2|=|-2|
     より、いつもプラスにするためマイナスをかけます。
　　 -(x-2)です。

よって、
　　 P=|2x-1|+|x-2|
　　　＝｜（-）｜　+　｜（-）｜

P= -(2x-1) -  (x-2) ・・・（ ｘ ＜ 1 2 ）

 ( ii ) 1 2 ≦ x ＜2　のとき
 
 P=|2x-1|+|x-2|
　　は 、
　　　例えば) 1 2  ≦x ＜2　を満たすｘの値、
　　１などを、代入してみると、
　　P＝｜2-1｜+｜1-2｜
      ＝ | 1 | + | -1 |
      ＝｜（+）｜　+　｜（-）｜

P＝(2x-1) - (x-2)　・・・（ 1 2  ≦x ＜2）

( iii ) 2 ≦ｘ　のとき

あとは、
  最初に、P=|(-)| + |(-)|
　次に、　P=|(+)| + |(-)|
　ときたので、P=|(+)| + |(+)|　しかないとわかるのですが、

　同じように　２≦ｘ　の具体的な数字を代入してみると、
　例えば　１０など。
　P=｜２０－１｜+｜１０－２｜＝｜１９｜+｜８｜＝｜(+)｜ + ｜(+)｜
　よって、

P = (2x-1) + (x-2) ・・・　（２≦ｘ）

（ i )～（ iii )より、
 P＝-(2x-1) - (x-2) ・・・（ ｘ ＜ 1 2 ）
 P＝ (2x-1) - (x-2)　・・・（ 1 2 ≦x ＜2）
 P＝ (2x-1) + (x-2) ・・・　（２≦ｘ）

お疲れ様でした☆（^ - ^  )
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ⅠA:不等式と方程式:絶対値と不等式:『|x+2|＜５と|x-2|≧７』:(高１)

題：『|x+2|＜５と|x-2|≧７』

絶対値と不等式の基礎知識
まず、この２点をおさえよう。
　1.絶対値の中は正。ex)|-2|=2.
　2.不等式は両辺に-1が、かけられると口が逆になる。ex)-x>2 ⇒ x<-2.


また、絶対値内が文字ならば、±を付けて外せる。
ex)
|x|=2
x=±2 (x=2,-x=2)

では、本題です。
題：『①|x+2|＜５と②|x-2|≧７』
解法）
①|x+2|＜５

プラスはそのまま
+(x+2)＜5　と、

マイナスは口と符号が反転
-(x+2)＜5
x+2＞-5
-5＜x+2　　より、
一気に、
-5＜x+2＜5　           と解きましょう。５は-５よりおおきいのでおかしくないですね。
-5-2＜x+2-2＜5-2    全辺に-2をします。真ん中をxにしたいから、+2が邪魔なのです。
-7<x<3







おしまい。

②|x-2|≧７
さっきの①のように一気に解こうとすると、おかしなことになります。
間違い×
７≦x-2≦-７
なぜ間違いなのでしょうか？
-7は7より大きくはないのです。

正解◎
この場合は、場合分けして答えとなります。

ⅰ)７≦x-2
7+2≦x
9≦ｘ

ⅱ）x-2≦-７
x≦-7+2
x≦-5

ⅰ）,ⅱ）より、x≦-5, 9≦ｘ　。

おしまい。

////////////////////////////////////////////////// グッドライフ

ⅡB：不等式の証明『|x|+1≧|x＋1|』：式と証明（高２）

『|x|+1≧|x＋1|』はどうやって解くのか。
（ブログの都合上、Aの２乗は、A^2）

不等式の証明は　A＾２　≧　B＾２　より　A＾２ － B＾２≧０
をつかって、平方完成しよう。（２乗を使わなくってもいい）
その式が自明（パッと見だれでも納得のとこまでもっていく。）不等号の証明。
そして、等号が成り立つ条件を書く。

今回は、絶対値がついてるから、２乗のを使おう。

解法）
(左辺)^2 - (右辺)^2=(|x| +1)＾２ - (|x+1|)＾２≧0   ：絶対値の２乗は必ず正だから、絶対値ははずれるよ。


（左辺）＝x^2+2|x|+1-x^2-2x-1

＝2|x|-2x
＝2(|x|-x)≧0　　　　　　　　　

|x|≧x  ・・・①                      ：自明。ｘが正のときは、＝だし、負のときは＞だよね。


これより、最初の計算式から、
(|x| +1)＾２ - (|x+1|)＾２≧0
(|x| +1)＾２ ≧ (|x+1|)＾２

となって、この２乗がとれれば、証明終了だね。
とれる条件は、

(|x| +1)≧0　,  (|x+1|)≧0      ：成り立つから

|x|+1≧|x＋1|

またここで、等号がなりたつ条件も書くよ。

①より、|x|≧x　は、
ｘ≧0　のとき

|x|=x

証明終了。

おつかれさまでした。

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A＾２　≧　B＾２　のあとに、A≧Bとする前に、
A≧0とB≧0を書かなければいけないのはなぜか。
例えば、
２５≧９　は、
５＾２≧３＾２　　　　　　　・・・②　で成り立つけれど、
（－５）＾２≧（－３）＾２　・・・③　でも成り立つよね。

②は、５≧０,　３≧０　だから
○　５≧３　は成り立つね。

でも③は、-5≦0, -3≦0 となり、
×　-5≧-3　これはおかしいね。
つまりA,Bが負なら、A＾２　≧　B＾２がなりたっても、A≧Bが成り立たないってこと。

だから、
A＾２　≧　B＾２　　⇒　A ≧ B (A≧0, B≧0)

上の右矢印が成り立つときは（　）内の条件が必要なんだよ。

『逆は必ずしも真ではない！！』

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