ⅠA：場合の数：正の約数の個数：『７２０の正の約数の個数と約数全体の和』（高１）

正の約数の個数は、
①素因数分解する。
②各々の（次数＋１）の積。
で求めるよ。

例えば・・・
４５=３²×５
ならば、
（２＋１）（１＋１）＝３・２＝６個。
なぜ＋１するのかというと、０乗である１を考える必要があるからです。
つまり・・・、（５は０乗と１乗を考え、３は０、１、２乗を考える。）
３⁰×５⁰ =1×１＝１
３⁰×５^１=1×５＝５

３^１×５⁰ =３×１＝３

３^１×５^１=３×５＝１５

３^２×５⁰ =９×１＝９

３^２×５^１=９×５＝４５

の（１,３,５,９,１５,４５）６個だからです。＋１しなきゃいけないね。

題１：『７２０の正の約数の個数を求めよ』

動画で解説してみたよ↓


解答）
①７２０を素因数分解すると・・・

2 )720
2 )360
2 )180
2 ) 90
3 ) 45
3 ) 15
      5

よって、
720 = 2⁴ × 3² × 5

②これは、
（4＋１）・（２＋１）・（１＋１）＝５・３・２＝３０個
でした。

題２：『７２０の正の約数全体の和を求めよ』

解答）

（１＋2^１＋2^２＋2³＋2⁴）・（１＋3^１＋3^２）・（１＋５）  　←このかたちが大事！

　　　　　　↑分配すると１＋２＋３＋４＋５＋６＋８＋・・・＋７２０と出てくるでしょ。

=(1+2+4+8+16)・(1+3+9)・(6)

=31・13・6=2418

でした！

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チャームカラーコンタクト

ⅠA:順列：辞書式配列：『P,O,W,E,Rを辞書式に配列したとき、POWERは何番目？』(高１）

辞書式配列は、先頭の文字を決めて、残りの順列を考えるよ。


題：『P,O,W,E,Rを辞書式に配列したとき、
　　　POWERは何番目？』

『RAMEN』と『APPLE』の辞書式配列は動画で解説してます。見てみてね！

解答）
辞書式だから、アルファベット順ということだね。
つまり、最初の並びは、
EOPRW　で、
次が、
EOPWR　だね。


まず、先頭がEで続く順列を考えよう。

E＊＊＊＊　　・・・この＊には、E以外の残りの４つを並べるので（O,P,R,W）

４！＝４・３・２・１＝２４通り

次に、Oは、
O＊＊＊＊　　・・・なので、同じで

４！＝２４通り

次は、P。
だから、Pで始まる最初の文字列は２４＋２４＝４８の次だから４９番目になるけれど、
それは、置いといて・・・・

PE＊＊＊　が　
３！＝３・２・１＝６通り

POE＊＊　が
２！＝２通り

POR＊＊　が
２！＝２通り

POW＊＊　は、POWER、POWREとなるので、
このPOW＊＊の最初の文字が、POWER。

だから、
２４＋２４＋６＋２＋２＝５８番目の次が、POWER。
よって、

５８＋１＝５９番目

が答え。

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ⅡB：不等式の証明：相加相乗平均の使い方：『ab+2/(ab)≧2(√2)』：（高２）

不等式の証明のときに相加相乗平均を使うことがありますが、どうやって使うのでしょうか。

相加相乗平均
x+y 2 ≧√xy

右辺のxとyが、かけられている事に注目！

かけて文字が消える逆数の関係のものを、xとyにおきます。

では早速例題で見てみましょう！

題：ab + 2 ab ≧ 2√2

解答）
ab と 2ab をかけるとabが約分されて消えるね。
だから、公式を変形して

x+y≧2√xy
をつかい、
x=ab, y= 2ab として
（左辺）=ab + 2ab ≧2√ab・√2√ab 　←公式より。問題の2√2の右辺はほっとく。

2√ab・√2√ab 　=2√2　　　　　　　　　←計算して、問題の右辺と同じになった！

よって、ab + 2ab ≧ 2√2  　　　　　　　  不等号”＞”成立。

等号成立は・・・

ab + 2ab ＝ 2√2　　　　　←と”＝”のときも考える。等号成立も証明しないといけないよ。

両辺に、abをかけて、移項すると・・・

(ab)²-2√2ab +2=0

(ab-√2)²=0

よって、
ab=√2 のとき、等号成立。

おしまい。
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