問題：y=x3-12a2x+16が異なる３つの解をもつaの範囲。
解き方：
（極大値）×（極小値）＜０
が範囲。
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そもそも、なんで、極値の積が負なら、
異なる３つの解をもつ条件になるのでしょうか。
また、”＝”が、付かないのはなんで？
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解が３つはこんな感じ↓↓↓
このように、x軸が極値に重ならずに、極大と極小の間にあれば、
３つの解をもつことになるよね。
（極大）＞０かつ（極小）＜０
もしくは、
（極大）＜０かつ（極小）＞０
と極値が異符号のとき、すなわち、
（極大値）×（極小値）＜０ は解が３つの条件
ということなんです。
解が２つは、
このｘ軸が、極値と重なっていたら、解は２つしかないね。
（ⅰ）は、（極大）＝０ かつ （極小）＜０ になって、
（ⅱ）は、（極大）＞０ かつ （極小）＝０ だから、
どちらも、
（極大）×（極小）＝０
解き方で等号がない理由はここにあるんだよ。
（極大）×（極小）＝０ は解が２つの条件
解が１つしかないのは次の２つ。
極値が、どちらも正：ｘ軸 より上に極値がある
｛（極大）＞０｝× ｛（極小）＞０｝＞０
（極大）×（極小）＞０
になるね。
また、
極値が、どちらも 負：ｘ軸 より下に極値がある
これも、
｛（極大）＜０｝× ｛（極小）＜０｝＞０
（極大）×（極小）＞０
になるね。
（極大）×（極小）＞０ は解が１つの条件
解説）
問題：y=x3-12a2x+16が異なる３つの解をもつaの範囲。
まずは、微分して極値を出そう。
y'=3x2-12a2=0
y'=3(x2-4a2)=3(x-2a)(x+2a)=0
∴x=±2a
f(x)=x3 -12a2x +16 とおくと、
（極大値）×（極小値）＜０
より、(どっちが極大、極小なのかは関係ない）
f(2a)×f(-2a)＜0
{(2a)3 -12a2(2a) +16}{(-2a)3 -12a2(-2a) +16}＜0
{8a3 -24a3 +16}{-8a3 +24a3 +16}＜0
(-16a3 +16) (16a3 +16)＜0
(a3 -1) (a3 +1)＞0
(a-1)(a2 +a +1) (a+1)(a2 -a +1)＞0
ここで、(a2 +a +1) と (a2 -a +1) は、
a2 ±a +1= (a±1/2)2 -1/4+4/4 = (a±1/2)2 +3/4 ＞0
と、aの値に関係なく正になるので、
aの範囲は,
(a-1) (a+1)＞0
しか、関係してないね。
だから、aの範囲は、
∴-1＜a, a＜1
となるよ！
お疲れ様でした☆ ☆☆
