数ⅡＢ：等比数列：二つの和がわかっている問題：『（１）Ｓ6とＳ3のようにｎが二倍の関係、（２）Ｓ３とＳ２がわかっている』（高２）

数ⅡＢ：等比数列：二つの和がわかっている問題：
『（１）Ｓ₆とＳ₃のようにｎが二倍の関係、（２）Ｓ₃とＳ₂がわかっている』

まず、等比数列の公式を見てみよう。

初項a,公比r (r≠1)
一般項:a_n=ar^r-1
和：

(1)ポイント
大抵 のように割るとうまくいくよ。
そして、分子を因数分解して分母と同じ因数を分子に作り出して、分子を無くすんだ。

実際に見てみよう。

(1)Ｓ₆=84,Ｓ₃=3のときの初項aと公比rを求めよ。

後述のために、約分して消えるので、と置くよ。

すると、となるね。
また、だね。

だから、
ここで、a²-b²=(a-b)(a+b)の因数分解を使うために、

r⁶=(r³)²だから、

分子は、
1-r⁶=1²-(r³)²=(1-r³)(1+r³ ) となり、



S₆=84,Ｓ₃=3だから、


と、このように、大抵の問題は割り切れるようにつくられています^^;

で、移行すると、
1+r³=28
r³=27
と、累乗根も計算できるように作られています^^;

よって、
r=3。

あとは、簡単な方のＳ₃に代入して、初項aを求めるよ。



13a=3より、
でした！

（２）Ｓ₃=7,Ｓ₂=3のときの、初項aと公比rをもとめよ。

ポイント

同じように、と割るんだけど、
この場合の因数分解して残ったｒの式は、二次方程式(解ｒ：-（α+β）＝αβ）になるよ！
つまり、一次と定数項の係数が一緒ってこと。

先ほどのように、
約分して消えるので、と置くよ。

Ｓ₃=X(1-r³)
S₂=X(1-r²)　とすると、

因数分解三乗の公式
(a³-b³)=(a-b)(a²+ab+b²)　より
(1-r³)=(1-r)(1+r+r²)

また、因数分解二乗の公式より
(1-r²)=(1-r)(1+r)

だから、

Ｓ₃=7=X(1-r³)=Ｘ(1-r)(1+r+r²)
S₂=3=X(1-r²)=Ｘ(1-r)(1+r)


どこが、約分されるかな？



両辺に　3(1+r)　をかけると、

３（１＋ｒ＋r²）＝７（１＋ｒ）
３r²＋３ｒ＋３＝７ｒ＋７

３r²-４ｒ-４＝０
（３ｒ＋２）（ｒ－２）＝０

∴

初項aはｒをS₂に代入して求めよう！

r=2のとき


3a=3
a=1

のとき

よって、

a=9

答えはまとめると、

r=2のとき,a=1
のときa=9

でした！



因みに、ｒの式は、二次方程式(解ｒ：-（α+β）＝αβ）になる理由は、


を満たすｋが存在しなければならない。
すると、

r²+r+1=k(1+r)
r²+r-kr+1-k=0
r²+(1-k)r+(1-k)=0

　解をα、βとしたときの二次方程式は、
　(r-α)(r-β)=0
　r²-(α+β)r+αβ=0

係数比較して、
(1-k)=-(α+β)
(1-k)=αβ
より

-(α+β)=αβ
となるのです！

なるほど～

///////////////////////////////

全国菓子博覧会栄誉大賞受賞