数ⅡB：数列：等差数列：第10項が28、第20項が－52の等差数列。（１）一般項an。（２）第何項までの和が最大になるか。そのときのS。

数ⅡB：数列：等差数列：
第10項が28、第20項が－52の等差数列。
（１）一般項an。
（２）第何項までの和が最大になるか。そのときの和S。

等差数列の公式
a:初項。d：公差。L：末項
一般項：an=a+(n-1)d
和：


(1)第10項が28、第20項が－52の等差数列。
一般項an。

a₁₀=28=a+(10-1)d より
28＝a＋９ｄ


a₂₀=-52=a+(20-1)d より
-52＝a＋1９ｄ


初項aを消そう！
a₂₀-a₁₀は、
-52-28＝(a＋1９ｄ）-(a＋９ｄ)
-80=10d
∴ｄ＝-8

28＝a＋９ｄ　へ代入して
28＝a＋９（-８）
a=28+72=100

∴an=100＋(n-1)(-8)=100-8n+8=-8n+108
an＝-8n+108
です。

（２）①第何項までの和が最大になるか。②そのときの和S。


①第何項までの和が最大になるか。
　anの第ｎ項目が正ならば、和は最大なので、
一般項anに”＞０”をつけて、ｎを求めましょう。
an＝-8n+108＞０　


-8ｎ＞-108
ｎ＜13.5
よって、ｎの最大値は１３。

答え）第13項までの和が最大。


　一応、a₁₃=-8（13）+108＝-104+108＝4　＞０　　（a₁₃までは正）
　　公差ｄ＝-8なので、a₁₄＝a₁₃+ｄ＝4-8＝-4＜0　（a₁₄からは負）


②そのときの和S。




S=13(100+12(-4))=13(100-84)=13・16＝13・4・4＝52・4＝208
∴S=208


お疲れ様でした。
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ブログで数式：HTMLでアンダーバーの逆、をつける方法。notAなど、補集合を書く。

HTMLでアンダーバーの逆をつけたい！（下線の逆。上線かな？）

1.overlineを使おう！
 <span style="text-decoration: overline">上線</span>

上線


2.下線はunderline。
 <span style="text-decoration: underline">下線</span>

下線


～使い方～

補集合A


ω


コピペして使ってね。

ⅡB：因数定理：ω（オメガ）の問題：ｘ三乗＝１。（１）ω＾９＋ω＾６＋１（２）ω＾１０＋ω＾２０＋ω＾３０

ⅡB：因数定理：ω（オメガ）の問題：ｘ三乗＝１。
次の式を簡単にせよ。
（１） ω⁹ ＋ ω⁶＋１　　（２） ω¹⁰ ＋ω²⁰＋ω³⁰
解答は、”４．解答”から！
-----------------------------------------------------
ポイント：ωの問題は、次数下げ。
          答えの形は（aω²+bω+c　の二次か一次か定数となる。）

ω³＝１　(三次を0次に次数下げ)
ω²+ω+１＝０　
ω²＝ -ω-１ 　(二次を一次に次数下げ)
-----------------------------------------------------



ωの問題がわからない！という人も多いかな。
ここでは、
・ωとは何か。
・ωの問題は、どう解くか。
を見ていこう！

1.ωとは・・・
x³＝１の解です。

え？ｘ＝１が解じゃないの？と思いますか？
そうです。ｘ＝１は、実数解です。でも、他にも２つ解があるのです。（３乗だからね。）

その他の二つが虚数解なんです。それの片方をωと呼ぶのです。

2.どうしてか

x³＝１
x³-１＝０
ｘ＝１が、解だから・・・
（ｘ－１）（二次方程式）＝０
となりますね。

この二次方程式は、
（ｘ－１）（二次方程式）＝x³-１　　の両辺を（ｘ－１）で割ると、

（二次方程式）＝（x³-１）/（ｘ－１）

（二次方程式）＝（x³-１）/（ｘ－１）=x²+x+１ より

x³-１＝（ｘ－１）（x²+x+１）　となるね。

この（二次方程式）＝x²+x+１　の解は、解の公式を使うと・・・


この二つの解を、プラスをω、もう片方のマイナスを ω（オメガバー）となどとします。
だから、ωの正体は、
ω＝

よって、
x³-１＝（ｘ－１）（x²+x+１）＝（ｘ－１）（ｘ－ω）（ｘ－ ω）＝０　だね。

ここから重要な式が２つでるよ！

3.絶対覚えたい式

ωを解とすると、ｘ＝ωより

x³＝１
ω³＝１　(三次を0次に次数下げ)


（ｘ－１）（x²+x+１）＝（ｘ－１）（ｘ－ω）（ｘ－ ω）＝０　より、ωが解ならば、
（x²+x+１）＝（ｘ－ω）（ｘ－ ω）＝０　　　　・・・（ｘ－ω）にωを代入すれば成り立つ。
（x²+x+１）＝０　
ω²+ω+１＝０　

移行して
ω²＝ -ω-１ 　(二次を一次に次数下げ)


4.解答
では、問題を解いてみよう！

（１） ω⁹ ＋ ω⁶＋１　　（２） ω¹⁰ ＋ω²⁰＋ω³⁰


（１） ω⁹ ＋ ω⁶＋１　
＝（ω³）³ ＋ （ω³）²＋１
＝（１）³ ＋ （１）²＋１　　　　　・・・ω³＝１
＝１＋１＋１
＝３
でした！

（２）ω¹⁰ ＋ω²⁰＋ω³⁰
＝ω・（ ω³ ）³ ＋ ω²・（ω³）⁶＋（ω³）¹⁰
＝ω・（  １  ）³ ＋ ω²・（ １ ）⁶＋（ １ ）¹⁰
＝ω＋ ω²＋1　　　　　　　・・・ω²+ω+１＝０　
＝0

でした！

ポイントの3つの式を代入したり、
工夫して因数分解してから代入するなりして頑張ろう！

ω^ｋなどの場合は、
i)k=n
ii)k=n+1
iii)k=n+2
などと、３つに場合分けすると解けるよ。
（k=n+3がいらないのは、ωⁿ⁺³＝ω^ｎ・ω³＝ ω^ｎ なので、k=nと同じ扱いになるからだよ。）

次へ＞＞ ω（オメガ）の発展②：a=(1+√３i)/2、のとき、(1)a³ (2)a²-a+1を求めよ。


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ⅠA：順列：円順列：大人２人と子供４人が円卓にすわるときの場合の数。（１）大人２人が隣り合う。（２）大人２人が向かい合う。（３）大人２人に特定の子がはさまれる。

ⅠA：順列：円順列：
大人２人と子供４人が円卓にすわるときの場合の数。

円順列の公式：
ｎ個を円形にならべる。
（ｎ－１）！

↑動画解説はこちらから↑

（１）大人２人が隣り合う。
隣り合う人たちは１人と考えるよ。そのあとで、そのグループ内の順列を考えるんだ。

なので、大人の１グループと子供４人の、
合計５人の円順列だね。
（５－１）！＝４！＝４・３・２・１＝２４通り

そして、大人のグループ内（大、大）で、
①父母
②母父
の並びがあるから、
２！＝２・１＝２通り

同時に起こるね。
２４・２＝４８通り

（答え）４８通り


（２）大人２人が向かい合う。

大人２人が向かい合っている図を書いてみよう。

すると、
父の右手の席①と左手の席②
母の右手の席③と左手の席④
これは、特別な席だね。父と、母が入れ替わっても、父の右手の席は１つしかない①。

だから、①②③④の席を、子供たちが選んで座る、ただの順列（円順列ではない）なんだ。

４！＝４・３・２・１＝２４通り

（答え）２４通り



（３）大人２人に特定の子がはさまれる。

はさまれるのは、特定の子１人だけだね。
父、母、高２、中３、小５、幼児、の家族なら、幼児がはさまれる！
あとの子は、どこ座ってもいいよー、ってわけ。

だから、（父、幼児、母）、（高）、（中）、（小）の
４グループで、円順列をするよ。
（４－１）！＝３！＝３・２・１＝６通り




幼児の左と右に父、母のそれぞれの２パターンあるから、
①（父、幼児、母）
②（母、幼児、父）

６・２＝１２通り

（答え）１２通り
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↑動画解説はこちらから↑

ⅠA:順列：男女の並び：男女４人の合計８人が１列に並ぶ、（１）男女交互（２）男子両端

ⅠA:順列：男女の並び：
男女４人の合計８人が１列に並ぶとき

（１）男女交互
男４人の順列と女４人の順列をバラバラに考えて、
男が先頭のときと女が先頭のときの２パターンと考えるよ。

男１、男２、男３、男４
４！＝４・３・２・１＝２４通り

女１、女２、女３、女４
４！＝４・３・２・１＝２４通り

①男女男女男女男女　
２４・２４＝５７６通り　　・・・男の２４通りに対して、女も２４通りあるね。

②女男女男女男女男
５７６・２＝１１５２通り　・・・２パターンだから×２だよ。

（答え）１１５２通り

（２）男子両端

男、誰１、誰２、誰３、誰４、誰５、誰６、男

男枠が両端にあるね。
ここに、男４人の中から、二人が選ばれるんだ。
４P２＝４・３＝１２通り

誰枠。これは、誰が入ってもいい６つの枠、
つまり残りの６人（男２人、女４人）だね。
６！＝６・５・４・３・２・１＝７２０通り

これらは、同時に起こるから、
１２・７２０＝８６４０通り

（答え）８６４０通り


＊ポイント＊
（２）のようなときは、より限定されている条件を先に考えるのがコツだよ。


 

ⅠA:順列：整数：『0,1,2,3,4,5,6』の７個の数字から、異なる４個の数字を選び、４桁の整数を作る。(1)4桁の整数。(2)奇数。(3)偶数。

題：『0,1,2,3,4,5,6』の７個の数字から、異なる４個の数字を選び、
４桁の整数を作る。
(1)4桁の整数。(2)奇数。(3)偶数。

↑動画解説はこちらから↑

　ポイント：特殊な条件のところを先に決めてしまおう！

(1)4桁の整数
ABCDの４桁とすると、Aには「１,2,3,4,5,6」のどれか一つが入り、それは６通り。
（Aの千の位が特殊な場所だね。ex/0123,0425は４桁じゃないから0は除くんだね。）

残りBCDには「0とAで使わなかった５つの数字」「0,?,?,?,?,?,a」の６つから３つを並べて、


6P3=６・５・４=120通り。

これのかけ算！（AとBCDは同時に起こるよ。）

６（A）・6P3（BCD）=６・１２０=７２０通り。・・・・（答え）

別解）
0を含む４桁の整数は、
「7P4 =７・６・５・４=840通り」
0が先頭の場合は、0XXXと0を除く６つを３つに並べて、
「6P3=６・５・４=120通り。」
これを除くから・・・

7P4-6P3=840-120=720通り。
でもOK！

（２）奇数。
ABCDの４桁で、
ⅰ)Dには『0,1,2,3,4,5,6』（1,3,5）の３通りが入るね。（一の位が奇数）

ⅱ）Aには、0と（ⅰ）の数字以外の５通りが入るね。
（ここで、ⅰの方がⅱよりもより特殊だよ。
Aの千の位を先に考えると、Dを考えるとき、Aが奇数→Dに入る奇数は残り２つ、
Aが偶数→Dに入る奇数は残り３つ。と場合分けが生じてくるね。）

ⅲ）残りのBCは、残りの５つの数字を２つ並べるので、

5P2=５・４=20通り。

ⅰ,ⅱ,ⅲは、同時に起こるから、かけ算！
D・A・BC＝３・５・2０＝300通り。　・・・・（答え）


(3)偶数。
ABCDの４桁で、


ⅰ)一の位Dが２か４か６のときは、
Dが3通り。
Aが、０とⅰで選ばれたどちらかの数字以外の、残りの５通り。
残りのBCは、『0,a,d,?,?,?,?』残りの５つから２つ並べて、5P2=５・４=20通り。

よって、
D・A・BC＝３・５・2０＝300通り。
ここまでは、奇数と同じパターンでしたね。

ⅱ）一の位が０の時、
Dは、０の１通り。
ABCは残りの『1,2,3,4,5,6』６つから３つを並べて、6P3=６・５・４=120通り。
(A千の位の0を考えなくていいんだね。D一の位で0を使っているから！)　

ⅰ（？？？２、？？？４、？？？６）と、ⅱ（？？？０）は、
同時に起こらないので、たし算！

３・５・5P2 + 6P3 =300 + 120 =420通り。　・・・（答え）

別解）全体と片方がわかっていれば・・・


（１）４桁の整数７２０＝（２）４桁の奇数３００　＋　（３）４桁の偶数４２０　なので、


（３）の４桁の偶数を求めるときは、
　　＝（１）４桁の整数７２０　－　（２）４桁の奇数３００　
（２）の４桁の奇数を求めるときは、
　　＝（１）４桁の整数７２０　－　（３）４桁の偶数４２０
ですね。

これで整数の順列はバッチリ！！
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↑動画解説はこちらから↑

数ⅠA：集合と論理：生徒１００人に数学と英語の試験。数学の合格者は５０人、英語の合格者は７５人、両方とも不合格のものは１０人であった。両方とも合格したものは何人か。（高１）

数ⅠA：集合と論理：
生徒１００人に数学と英語の試験を行った。
数学の合格者は５０人、英語の合格者は７５人、両方とも不合格のものは１０人であった。
両方とも合格したものは何人か。（高１）

動画で解説してみたよ↓



解法）
このような問題は、ベン図を書き、一つ一つの領域を文字として置こう！

全体:U、数学の合格者:M、英語の合格者:E、両方とも不合格のもの:X、とすると、

n(U)=m+w+e+x=100　・・・①

n(M)=m+w=50　　　　 ・・・②

n(E)=e+w=75           ・・・③

n(U)-n(MUE)=x=10　　・・・④


①の式に②、③、④を代入します。
が、③が代入できません！
そこで、③を式変形します。
e+w=75
e=75-w  ・・・③’



これを、③の代わりに代入すると、①は、
m+w+e+x=100　
50+75-w+10=100　
よって、
135-100=w
w=35。

両方とも合格したものは、35人。
となるんだね。

（２）数学だけ合格したものは何名か。
(m+w)-w =50-35 =15人。

（３）英語だけ合格したものは何名か。
(e+w)-w =75-35 =40人。

（４）少なくとも一方に合格したものは何名か。

少なくともは、全体から不合格を引くので、

n(U)-x=100-10=90人。

 これは、(1)+(2)+(3)=35+15+40=90人。と求めることもできるよ。
また、n(M)+n(E)-n(M∧E)=50+75-35=90人。と求めることもできるね。

今回の問題は、
１．全ての領域を文字で置く。
２．代入できるものを代入して、余ったものは式変形して代入する。
ってのがコツだったね。

お疲れ様でした☆

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