数ⅠＡ：因数分解①（複二次式x^4,x^2,定数）：9ｘ＾４-16ｘ＾２+4の因数分解。

数ⅠＡ：因数分解①（複二次式x⁴ ,x² ,定数）：9ｘ⁴ -16ｘ² +4の因数分解。

xの４乗、xの２乗、定数の形（複２次式）

問題：9ｘ^４-16ｘ^２+4を因数分解せよ。

point:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
⑴４乗と定数項に注目する。　　　　　　　　　　
⑵（４乗と定数項で作る式）^２-（残りの物）^２

まずｘ^２＝Ａってするよね。（しなくてもＯＫ）

９Ａ ^２-16Ａ+４　  ２次式みたい！だから、複２次式っていうんだ（＾0＾）!
９ Ａ ^２　と　+４　に注目して（　　　）^２　の形を作ろう！

たすき掛けで
３Ａ　-2　｜-６Ａ
３Ａ　-2　｜-６Ａ
だから

９Ａ ^２-１２Ａ+４-４Ａ　　これは、-１６Ａを-１２Ａと-４Ａにバラしたんだよ。-１２Ａがほしかったからね。

＝（３Ａ-２） ^２-４Ａ

 ｘ^２＝Ａを代入して元に戻すよ。

＝ （３ｘ^２-２） ^２-４ｘ^２
 
＝ （３ｘ^２-２） ^２-（２ｘ）^２

＝ ｛（３ｘ^２-２）-（２ｘ）｝｛（３ｘ^２-２）+（２ｘ）｝　　　あの（a） ^２-（b）^２の公式だよ

＝ （３ｘ^２-２-２ｘ）（３ｘ^２-２+２ｘ）　　　　　　　　　中かっこをはずして・・・

＝ （３ｘ^２-２ｘ-２）（３ｘ^２+２ｘ-２）　　　　　　　　　こっちの方が並びがいいかな！？

おしまい。　
お疲れ様でした☆

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数ⅡB：ω（オメガ）の発展②：a=(1+√３i)/2、のとき、(1)a^3 (2)a^2-a+1を求めよ。

数ⅡB：ω（オメガ）の発展②：

a=、のとき、

(1)a³
(2)a²-a+1

を求めよ。

ωの正体覚えてる？
（忘れた人は『ωの問題』をチェック！！）

x³＝１の解は、１,ω,ωだったね。

x³-１＝（ｘ－１）（x²+x+１）　＝０　で、

この（二次方程式）＝x²+x+１　の解は、解の公式を使うと・・・






ω＝

?ωの形とaの形似てない？？

って気づけたら、なかないいセンス！！

 ω＝


の両辺に-1をかけると、

a=

になるね。

そう、

a＝－ ω

ってことなんだよ。

簡単のため、

a＝－ ω

として、計算するよ。

それでは、解いてみよう！

(1)a³

 a³＝（－ ω）³＝－ω³＝－１
（∵ω³＝１）

(2)a²-a+1

ω²＝ -ω-１
だったね。
これに、 ω＝－aを代入して、
（－a)²＝ -(-a)-１
a²＝ a-１　　・・・①

（与式）
 ＝a²-a+1
 に①を代入して


＝ （a-１）-a＋１
＝０


お疲れ様でした☆


前へ＜＜『ωの問題』

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数ⅠA：図形の性質：円：次の三点の三角形の外心を求めよ。O（0,0),A(2,6),B(4,-4)

数ⅠA：図形の性質：円：次の三点の三角形の外心を求めよ。O（0,0),A(2,6),B(4,-4)

外心は、外接円の中心だね。

外接円の特徴は覚えているかな？

～外接円の特徴～
弦の垂直二等分線は円の中心を通る（中３の作図）

このことと、

・中点の座標

・直角に交わる二直線の傾きの積は、-1。（m・ｎ＝－１）

の考えを使って解くよ。

では解いてみましょう！


答え）



OAの中点をMとし、

OAとMが垂直に交わる直線をjとします。

OBについても、OBの中点をNとし、
OBとNが垂直に交わる直線をｋとします。

１．まず、OAの中点MとOBの中点Nを求めよう。

M（｛０＋２｝÷２,{０＋６｝÷２）
＝M（１，３）

N(｛０＋４｝÷２,{０－４｝÷２）
＝N（２,－２）

２．次に、直線jとｋの傾きを求めよう。

（傾き）＝（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）

OAの傾き＝ 6/2=3

(jの傾き）・３＝－１
jの傾き＝－１/3


OBの傾き＝－４／４＝－１

（ｋの傾き）・（－１）＝－１
ｋの傾き＝１

３．ｊの式を傾き-1/3と、点M（１，３）を使い、
　　ｋの式を傾き１と、点N（２,－２）を使い求めよう。

ｙ＝ax+bより

ｊの式：
　
　３＝（－１／３）・１＋ｂ
　
　ｂ＝１０／３

ｊ：　ｙ＝（－１／３）ｘ＋１０／３


ｋの式：

　－２＝１・２＋ｑ
　
　ｑ＝－４

ｋ：ｙ＝ｘ－４

４、最後に、ｊとｋの交点を連立方程式で求め、その解が外心C（ｘ,ｙ）となるよ！

 ｊ：　ｙ＝（－１／３）ｘ＋１０／３
ｋ：　ｙ＝ｘ－４ 

（－１／３）ｘ＋１０／３＝ｘ－４
３倍して

- ｘ＋１０＝３ｘ－１２

４ｘ＝２２

ｘ＝２２／４


ｋの式に代入して、

ｙ＝（２２／４）－４

ｙ＝（２２－１６）／４＝６／４＝３／２

よって
外心C（ｘ,ｙ）＝（２２／４　,３／２）
となるね。

∴外心（２２／４　,３／２）

お疲れ様でした☆

＜＜前へ　線分ＡＢを直径とする円上の点ＣからＡＢに下した垂線をＣＤとするとき、ＣＤ＾２＝ＡＤ・ＤＢを座標を用いて証明せよ。
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思春期のニキビから大人ニキビまで。薬用アクネクリアローション

数ＩＡ：図形の性質：線分ＡＢを直径とする円上の点ＣからＡＢに下した垂線をＣＤとするとき、ＣＤ＾２＝ＡＤ・ＤＢを座標を用いて証明せよ。

数ＩＡ：図形の性質：線分ＡＢを直径とする円上の点ＣからＡＢに下した垂線をＣＤとするとき、ＣＤ＾２＝ＡＤ・ＤＢを座標を用いて証明せよ。

CD ²　＝ＡＤ・ＤＢ

は相似を使って証明しよう。

一つの鋭角と直角がそれぞれ等しいから、

『二つの角がそれぞれ等しい』という相似の条件を使って 、

⊿ＡＣＤ∽⊿ＡＢＣ（円周角と中心角の関係から∠Ｃ＝９０°）
⊿ＡＢＣ∽⊿ＣＢＤ

∴⊿ＡＣＤ∽⊿ＣＢＤ

これより、
ＡＤ：ＣＤ＝ＣＤ：ＤＢ

よって、

CD ²　＝ＡＤ・ＤＢ

証明終了！

いかがでしたか？

お疲れ様でした☆

次＞＞三点を通る⊿OABから外接円の中心をもとめる。

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メディユース ホワイトフレッシュ ピーリングジェル

ＩＡ：降べきの順②『x^2+y^2+2xy-ax+2x-2ay-2a』をｘについて降べきの順に並べよ。また、次数と係数を言え。yについても降べきの順にならべよ。

ＩＡ：降べきの順②『x^2+y^2+2xy-ax+2x-2ay-2a』をｘについて降べきの順に並べよ。また、次数と係数を言え。yについても降べきの順にならべよ。

xについて降べきの順に並べてみよう！
ｘ二乗のものと、ただのｘとそれ以外にわけてみよう。

x²+y²+2xy-ax+2x-2ay-2a
= x²　　+2xｙ-ax+2x　　+y²-2ay-2a
ｘについて因数分解できるところはするよ。
= x²　　+(2ｙ-a+2)x　　+(y²-2ay-2a)
ｘ二乗の係数は１
ｘの係数は(2ｙ-a+2)
なにもついていない”定数項”は(y²-2ay-2a)

次数は多項式の一番高い次数。つまりｘ二乗なので、
次数：２

次に、
ｙについても、降べきの順に並べてみよう。

x²+y²+2xy-ax+2x-2ay-2a

=y²  +2xy-2ay    +x²+-ax+2x-2a

= y²  +(2x-2a)y    +(x²-ax+2x-2a)

最後の(　)は、定数項が見やすいだけで、なくてもＯＫ！


お疲れ様＾＾☆
＞＞因数分解①複２次式を見る

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動画の解説も見てね！

数ⅡB：ベクトルの軌跡：三角形ABCで、ベクトルPA＋PB＋PCの大きさが６のときの、動点Pの軌跡を求めよ。

ベクトルの軌跡：

三角形ABCで、ベクトルPA＋PB＋PCの大きさが６のときの、

動点Pの軌跡を求めよ。

 

☆解説☆

｜PA＋PB＋PC｜＝６
から
起点ベクトルPからの重心のイメージが沸くね。

□G＝（□A＋□B＋□C）÷３


□が起点ベクトルの文字。今回はPだね。
 
すると・・・

 つまり、中心Gで半径｜PG｜＝２　の円ができる！

だから答えは、

三角形ABCの重心Gを円の中心とする、
半径２の円周上の動点がP 。

でした。
お疲れ様でした＾＾ｖ
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GOM Cam(ゴムカム)

数ⅠA：組み合わせ：道順（最短経路）：縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？

数ⅠA：組み合わせ：道順（最短経路）

動画での解説もチェックしてね！

（１）縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？
（２）また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？
（３）下図でDを経由しないでBへ行く最短経路は何通りか？

ポイント
・右、上　にしか進まない。（戻らない：左、下は無い）
・右に行ける回数、上に行ける回数は決まっている。
・何回目に上に行くかを決めれば、そのほかは自動的に右。


それでは、解いてみましょう＾＾/

 

（１）縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？

まず、何回上に行けるでしょうか？

 　３回ですね。

では、何回右に行けるでしょうか？

　４回ですね。

合計何回移動するでしょうか？

　７回ですね。


１回目を①、２回目を②、・・・・、７回目を⑦とすると、
例えば・・・

最初に一番上までいって、右まで行くなら、
①②③④⑤⑥⑦
上上上右右右右


最初に一番右まで行って、最後に上に３回進むなら、


①②③④⑤⑥⑦
右右右右上上上

となりますね。

つまり、何回目が上か？という組み合わせなんですね。
例えば、②回目と⑤回目と⑥回目に上に行くのであれば、あとは、全部右しかないのです。
①②③④⑤⑥⑦
□上□□上上□

だから、
７回のうち３回を選んでそこに上を入れる組み合わせ。
（＝７回のうち４回を選んでそこに右を入れる組み合わせ。）
①②③④⑤⑥⑦
□☆□□☆☆□
　↑　　　↑↑　　
　上　　　上上
□には自動的に右。
7C3＝（７・６・５）/(３・２・１）=７・５＝３５通り

（２）また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？

これは、AからC、そしてCからBと分けて考え、
同時に起こるのでそれらの積と考えるよ。

では、AからCは合計何回進み、上は何回でしょうか？

　合計：１+3＝4回
　上：１回

だから、nCrを使って、

4C1=4通り　　だね。


同じように、CからBを考えると、

　合計：2+1＝3

３C2＝３通り

これらの積がC経由の最短距離だから、

３×４＝１２通り 

（３）下図でDを経由しないでBへ行く最短経路は何通りか？
 









これは、（全体）－（Dを通る場合）で求められるんだ。

Dを通る場合は、どう考えようか？
下のポイントE,Fを通る場合の積だよ。

  














では、最初にDを通る場合の数を考えてみよう。
これは（２）と同じ考えだね。

AからEは
２C1=２通り

EからFは、
１通り

FからBは
４C1＝４通り

　だから、これらは同時に起こるので積なので、

２×１×４＝８通り

　これがDを経由する場合の数だね。


ではDを通らない場合の数を求めてみよう。
 これは、
（全体）－（D経由）
だったね。

（全体）の場合の数は、（１）で求めたね。（AからBまでの最短経路）

全体： ３５通り

よって、
 （全体）－（D経由）
＝３５－８
＝２７通り

でした！

お疲れ様でした☆

 ＞ⅠA:順列：辞書式配列：『P,O,W,E,Rを辞書式に配列したとき、POWERは何番目？』(高１）
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動画での解説もチェックしてね！