数A：組合せ：部屋割り②空き部屋の有無し

数A【空き部屋の問題】

（1）８人が3つの部屋に入る通りは何通り？空き部屋が出ても良い。

（2） ８人が3つの部屋に入る通りは何通り？空き部屋が出てはいけない。

Q1: ６人が2つの部屋に分かれる。次の場合は何通り？

①空き部屋が出ても良い。

②空き部屋が出てはいけない。

Q2: ６人が4つの部屋に分かれる。次の場合は何通り？

①空き部屋が出ても良い。

②空き部屋が出てはいけない。

動画で解説しました。見てね！

数A：組合せ：部屋割り①

（1）8人を松部屋に２人、竹部屋に４人、梅部屋に２人入れる方法は何通り？

（2）８人を２人、２人、４人の組に分ける方法は何通り？ただしそれぞれがどの部屋に入るかは考えない。

（3）８人を２人、２人、２人、２人に分ける方法は何通り？

詳しくは動画で解説しています！

数A：重複を許してつくる組合せ：整数解の個数 ◯ | ◯ ◯ | ◯ ◯

数A：重複を許してつくる組合せ：整数解の個数　◯ | ◯ ◯ | ◯ ◯ 

（1）x,y,zを正の整数とする。

x+y+z=10を満たす、x,y,zの組みは何通り？

（2）x,y,zをx≧0,y≧0,z≧0を満たす整数とする。

x+y+z=10を満たす、x,y,zの組みは何通り？

（3）x+3y+z=10(x≧0,y≧0,z≧0)を満たす、整数x,y,zの組合せは何通り？

詳しくはこちらの動画で解説しています！

見てね☆

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数ⅡB：群数列：マスターへの道その② 群数列の項数が等差数列をなす（a2022は、第何群の何番目か？）

 数2B：問題：群数列{an}が以下のように与えられている。

2,4 | 6,8,10,12 | 14,16,18,20,22,24| …|ak , ak+1, …,am|

第1群｜　　第2群　　｜　　　　　　第3群　　　　　｜　…｜　第x群　　｜　

（1）{an}の第x群の最後の項のamのmを求めよ。

（2）{an}の第x群の最初の項のakのkを求めよ。

（3）{an}の第x群の最初の項のakを求めよ。

（4）a2022は、第何群の何番目か？

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解説）

（1）{an}の第x群の最後の項のamのmを求めよ。

第1群、第2群、、、第x群のそれぞれに含まれる項数をならべてみよう。

第1群：2,4 ・・・2個

第2群：6,8,10,12・・・4個

第3群：14,16,18,20,22,24・・・6個

・

・

第x群：ak , ak+1, …,am ・・・2x個

よって、

第2群の12は第一群から数えて6番目（2個＋4個）のa6 だから、

第x群の最後の項のamのmは、

第1群から第x群までの項数の和となる。

だから、

m＝2＋4＋6＋…＋2x

になるね。

mは等差数列で、初項a=2,　末項ℓ＝2x, 項数n=x(個）なので、

　S＝n(a+ℓ)2

の等差数列の和の公式に代入すると、

m＝x(2+2x)2

m=x(x+1)

でした。

（2）{an}の第x群の最初の項のakのkを求めよ。

第（xー1）群の最後の項apの次が第x群の最初の項akになるね。

| …,ap|ak , ak+1, …,am|

|第(x-1)群｜       第 x 群          |

pの次がk つまり、

p+1＝k

だから

ap+1=ak

なので、まずは第（xー1）群の最後の項apのpを考えてみよう。

（1）で第x群の最後の項amは、

m=x(x+1)

と求めたね。

なので、第(x-1)群の最後の項apのpは、xに(x-1)を代入して、

p=(x-1)(x-1+1)

p=(x-1)x

第x群の最初の項akのkは、pの右隣なので1を足して、

p+1＝k　なので、

k=p+1=(x-1)x+1

ak=a(x-1)x+1

となるね。

つまり、答えは・・・

k＝x²-x+1

でした！

（3）{an}の第x群の最初の項のakを求めよ。

まずは、第1群や第2群、第3群の最初の項がどうなっているのかをみてみよう。

第1群：2,4 ・・・2

第2群：6,8,10,12・・・6

第3群：14,16,18,20,22,24・・・14

ぱっと見て法則性を見つけるのは難しそう。

（2）で第x群の最初の項akのk＝x²-x+1だったね。

第2群の最初の項はどうだろう？

k＝2²-2+1＝4-2+1=3

第2群の最初の項はa3で、

a3＝3×2＝6

第3群の最初の項はこうなるね。

k＝3²-3+1＝9-3+1=7

第3群の最初の項はa7で、

a7＝7×2＝14

kを2倍している！！

つまり、今回の数列は

ak＝2k

だね！

第x群の最初の項は、

k＝x²-x+1

なので、第x群の最初の項はax²-x+1で、

ax²-x+1＝(x²-x+1)×2=2x²-2x+2

答えは、

{an}の第x群の最初の項 ak＝2x²-2x+2

でした！

（4）a2022は、第何群の何番目か？

今回の数列は、

akのk＝x²-x+1

になっていたね。

2022に一番近くなりそうなxはなんだろう？

x²-x+1＝x(x-1)+1≒x²

だから、

x²

で、2022 に近い数を考えてみると、

いや、簡単のため 2000に近い数を考えてみると、

x²＝2000=20×100＝400×5

x=20√5≒20×2.2=44

だから、第44群にあるのかな？

第44群の最初の項akのkは、

k=44²-44+1=1936-44+1=1893

第44群の最初の項はa1893だね。

じゃあ、第45群の最初の項akのkはいくつだろう？

k=45²-45+1=2025-45+1=1981

第45群の最初の項はa1981だね。

第44群に含まれる項数は、1981-1893+1=89

なので、

第45群の最後の項はa1981＋89＋αとなり、kは2022を突破しているはず。

よって、第45群にa2022は含まれてるはずだね。

一応第46群の最初の項を調べてみると、

k=46²-46+1=2116-46+1=2071

で、

第46群の最初の項はa2071とやっぱり突破してた。

だから、第45群にa2022は含まれてる！！

第45群の最初の項はa1981だったね。

例として、第45群の第3項の3はどうやって求められるかな？

第45群の第1項：a1981

第45群の第2項：a1982

第45群の第3項：a1983

だから、

1983-1981+1=2+1=3

この3は第3項、つまり3番目ということなんだね。

では、

第45群の第1項：a1981

…

第45群の第y項：a2022

だから、yは・・・

y=2022-1981+1=42

42は第42項、つまり42番目ということなんだね。

だから、a2022は、

第45群の42番目

なんだ！！

お疲れ様でした！

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数ⅡB：群数列：マスターへの道その① 群数列の考え方

数2B:問題：{an}の群数列が以下のように与えられている。第x群の最後の項のamのmを求めよ。

a1　 |a2 , a3| a4 , a5 , a6|・・・|・・・|ak , ak+1, ・・・,am|

第1群｜第2群　｜　第3群　　｜　・・・　｜　・・・　｜　　　　第x群　　　　｜　

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何じゃこの群数列！？難しい！って思いますか？

一つ一つみていきましょう！

解説）

これは、第1群、第2群、・・・、に含まれるものを並べるとこうなるね。

第1群：a1・・・1個

第2群：a2 ,a3 ・・・2個

第3群：a4 ,a5 ,a6・・・3個

・

・

第x群：ak, ak+1, …,am・・・x個

次に、第x群の最後の項のmの数字を知るために、

まず具体的に考えてみよう。

第3群の最後の項は”a6”だけど、この6はどこからきているのかな？

それは、

（第1群の項数）＋（第2群の項数）＋（第3群の項数）

＝1＋2＋3＝6

と、第1群から第3群の項数の和から来ているね。

では、第x群の最後の項amのmの数はどうやって求められるかな？

同じように、

（第1群の項数）＋（第2群の項数）＋・・・・＋（第x群の項数）

 ＝1＋2＋3＋・・・＋（x - 1)＋x　= m　　

だね。

つまり、

第x群の最後の項のamのmは、

（第1群の項数）から（第x群の項数）までの和

となるんだ！！

今回は群数列の区切りかたが、等差数列になっているね。（別の数列の区切り方もある）

では、mを求めてみよう。

　m = 1＋2＋3＋・・・＋（x - 1)＋ x　

だから、

mは、初項a＝1、末項ℓ＝x、項数n＝x　の等差数列の和

等差数列の和の公式は、

S＝ n(a+ℓ) 2

なので、代入すると

m＝x(1＋ℓ)2

となるんだね。

お疲れ様でした。

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