数ⅠA：組み合わせ：道順（最短経路）：縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？

数ⅠA：組み合わせ：道順（最短経路）

動画での解説もチェックしてね！

（１）縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？
（２）また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？
（３）下図でDを経由しないでBへ行く最短経路は何通りか？

ポイント
・右、上　にしか進まない。（戻らない：左、下は無い）
・右に行ける回数、上に行ける回数は決まっている。
・何回目に上に行くかを決めれば、そのほかは自動的に右。


それでは、解いてみましょう＾＾/

 

（１）縦３マス横４マスを左下Aから右上Bまでいく、最短経路は何通りあるか？

まず、何回上に行けるでしょうか？

 　３回ですね。

では、何回右に行けるでしょうか？

　４回ですね。

合計何回移動するでしょうか？

　７回ですね。


１回目を①、２回目を②、・・・・、７回目を⑦とすると、
例えば・・・

最初に一番上までいって、右まで行くなら、
①②③④⑤⑥⑦
上上上右右右右


最初に一番右まで行って、最後に上に３回進むなら、


①②③④⑤⑥⑦
右右右右上上上

となりますね。

つまり、何回目が上か？という組み合わせなんですね。
例えば、②回目と⑤回目と⑥回目に上に行くのであれば、あとは、全部右しかないのです。
①②③④⑤⑥⑦
□上□□上上□

だから、
７回のうち３回を選んでそこに上を入れる組み合わせ。
（＝７回のうち４回を選んでそこに右を入れる組み合わせ。）
①②③④⑤⑥⑦
□☆□□☆☆□
　↑　　　↑↑　　
　上　　　上上
□には自動的に右。
7C3＝（７・６・５）/(３・２・１）=７・５＝３５通り

（２）また、縦１横３のポイントCを必ず通過する場合は何通りか？

これは、AからC、そしてCからBと分けて考え、
同時に起こるのでそれらの積と考えるよ。

では、AからCは合計何回進み、上は何回でしょうか？

　合計：１+3＝4回
　上：１回

だから、nCrを使って、

4C1=4通り　　だね。


同じように、CからBを考えると、

　合計：2+1＝3

３C2＝３通り

これらの積がC経由の最短距離だから、

３×４＝１２通り 

（３）下図でDを経由しないでBへ行く最短経路は何通りか？
 









これは、（全体）－（Dを通る場合）で求められるんだ。

Dを通る場合は、どう考えようか？
下のポイントE,Fを通る場合の積だよ。

  














では、最初にDを通る場合の数を考えてみよう。
これは（２）と同じ考えだね。

AからEは
２C1=２通り

EからFは、
１通り

FからBは
４C1＝４通り

　だから、これらは同時に起こるので積なので、

２×１×４＝８通り

　これがDを経由する場合の数だね。


ではDを通らない場合の数を求めてみよう。
 これは、
（全体）－（D経由）
だったね。

（全体）の場合の数は、（１）で求めたね。（AからBまでの最短経路）

全体： ３５通り

よって、
 （全体）－（D経由）
＝３５－８
＝２７通り

でした！

お疲れ様でした☆

 ＞ⅠA:順列：辞書式配列：『P,O,W,E,Rを辞書式に配列したとき、POWERは何番目？』(高１）
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動画での解説もチェックしてね！

ⅠA：2次不等式の範囲

ⅠA：2次不等式の範囲　

題：ax²+bx+4>0の解が-1<x<2のとき、a,b求めよ。

　　　☆ポイント☆　　　
・α＜ｘ＜βの範囲は、（ｘ－α）（ｘ－β）＜０　　
・ｘ＜α,　β＜ｘの範囲は （ｘ－α）（ｘ－β）＞０ 
　のどちらかを展開して近づけていき、　　　　　 
係数比較をする。　　　　　　　　　　　　　　　　    


　今回の問題は-1<x<2　なので、この形。

　上の図の形から、

－１＜ｘ＜２　は、
（ｘ＋１）（ｘ－２）＜０

　展開して、

x²　-ｘ　-2　＜０

　 ax²+bx+4>0の不等号の向きから
　”－１”をかけると、

-x²　+ｘ　+2　＞０

　定数項が２だが、 ax²　+bx　+4　>0　の定数項に合わせるためには、
　×”２”をする。

-2x²　+2ｘ　+4　＞０ 

　ax²　+bx　+4　＞０　と係数比較をすると、

a = -2
b = 2

でした。

お疲れ様でした＾＾ｖ

＞＞不等式を満たす整数解へ
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ⅠA:数と式：整数部分と小数部分：4+√７ の整数部分をa、小数部分をb として表せ。

整数部分と小数部分の問題。

問題：4+√7の整数部分をa、小数部分をb　として表せ。

ポイント
・ルートの数を平方数（二乗された数）ではさむ。
・問題の式に近づけていく。　　　　　　　　　　

今回は、√7のおおよその数を知りたい。覚えていなくても大丈夫！

一番近い平方数ではさむと、

√4＜√7＜√9

２＜√7＜３

　　　√７は２と３の間の数、２．○○なんだね。


それぞれに４を足して問題の式に近づけると・・・

4+２＜4+√7＜4+３

６＜４+√7＜７

　
　 ４+√7　は、６と７の間の数、６．○○なんだね。




だから、
整数部分は、

a=6

小数部分は、

６．○○ - ６　＝0.○○　となるので、

b =  (４+√7) - 6
b = - 2 +√7


整数部分　a=6

小数部分　b =  - 2 +√7

お疲れ様でした。

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ⅠA:不等式と方程式：絶対値の場合分け：P=|2x-1|+|x-2|を絶対値記号を使わずに表せ。

ⅠA:不等式と方程式：絶対値の場合分け：P=|2x-1|+|x-2|

絶対値の外し方はどうするのでしょうか？

　ポイント　
・絶対値の中が0になるｘを考える
・そのｘの範囲で区切って場合分けする。 

問題：
P=|2x-1|+|x-２|を絶対値を使わずに表せ。

今回の場合は、
ｘ＝ 1 2 ,2
が絶対値の中身が0になる値ですね。

その範囲で区切ると、

( i ) ｘ ＜12　
( ii ) 1 2  ≦x ＜2
( iii ) 2 ≦ｘ
の範囲に分けられますね。

     ～イコールはどこにつけるの？～
　　　　この不等号のイコールのつけ方は、
　　　単に未満と以上の言葉にあわせているだけです。
　　　　全部にイコールがついていても間違いではないです。
　　　重複して含むことになるので、どちらかに含ませるのが普通ですが、。
　　　　イコールを全部につけないのは間違いです。
　　　どこかに境目の値（ 1 2 や2)は含めないと２の場合は？となるからです。

では、 さっそく解いてみましょう。

( i ) ｘ ＜ 1 2 　のとき、

 P=|2x-1|+|x-2|
　　は 、
　　　例えばｘ ＜ 1 2 を満たすｘの値、
　　０でも、-10でも何でもいいのですが、代入してみると

　　 |2x-1|=|0-1|=|-1|
　　のように必ず絶対値の中がマイナスになりますね。
 　　なので、いつもプラスにするためマイナスをかけると、 |2x-1|は
　　-(2x-1)　となります。

　　 |x-2|＝|0-2|=|-2|
     より、いつもプラスにするためマイナスをかけます。
　　 -(x-2)です。

よって、
　　 P=|2x-1|+|x-2|
　　　＝｜（-）｜　+　｜（-）｜

P= -(2x-1) -  (x-2) ・・・（ ｘ ＜ 1 2 ）

 ( ii ) 1 2 ≦ x ＜2　のとき
 
 P=|2x-1|+|x-2|
　　は 、
　　　例えば) 1 2  ≦x ＜2　を満たすｘの値、
　　１などを、代入してみると、
　　P＝｜2-1｜+｜1-2｜
      ＝ | 1 | + | -1 |
      ＝｜（+）｜　+　｜（-）｜

P＝(2x-1) - (x-2)　・・・（ 1 2  ≦x ＜2）

( iii ) 2 ≦ｘ　のとき

あとは、
  最初に、P=|(-)| + |(-)|
　次に、　P=|(+)| + |(-)|
　ときたので、P=|(+)| + |(+)|　しかないとわかるのですが、

　同じように　２≦ｘ　の具体的な数字を代入してみると、
　例えば　１０など。
　P=｜２０－１｜+｜１０－２｜＝｜１９｜+｜８｜＝｜(+)｜ + ｜(+)｜
　よって、

P = (2x-1) + (x-2) ・・・　（２≦ｘ）

（ i )～（ iii )より、
 P＝-(2x-1) - (x-2) ・・・（ ｘ ＜ 1 2 ）
 P＝ (2x-1) - (x-2)　・・・（ 1 2 ≦x ＜2）
 P＝ (2x-1) + (x-2) ・・・　（２≦ｘ）

お疲れ様でした☆（^ - ^  )
_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/

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PC:galleriaのwebカメラが無いと思ってたら・・・

先日、ドスパラでPrimのgalleriaのノートパソコンを買ったのですが、
『webカメラ』が使えない！！

ドライバもインストールしなおしたり・・・

デバイスの表示すらない・・・


とあきらめてたら、

ありました。

キーボードをよーく見てみると、[Fn]+[F6]のところに、
カメラマークが（＾＾）

つきました！！！(^0^)/
これでSkypeのカメラ機能が使える！！

PCによっては、電源ボタンの隣にあったりもするみたいですね。


同じ問題で悩んでいる人のお役に立てたら幸いです＾＾ｖ

数ⅡB:微分積分：３次関数が異なる３つの解を持つ条件。y=x^3-12a^2x+16が異なる３つの解をもつaの範囲。

数ⅡB:微分積分：３次関数が異なる３つの解を持つ条件。

 問題：y=x³-12a²x+16が異なる３つの解をもつaの範囲。

 解き方：　　　　　　　　　　
（極大値）×（極小値）＜０
 が範囲。　　　　　 　　　　
 
???????????????????????????????????????????????????
 そもそも、なんで、極値の積が負なら、
異なる３つの解をもつ条件になるのでしょうか。

また、”＝”が、付かないのはなんで？
 ???????????????????????????????????????????????????
解が３つはこんな感じ↓↓↓                            

 　




このように、x軸が極値に重ならずに、極大と極小の間にあれば、
３つの解をもつことになるよね。
（極大）＞０かつ（極小）＜０
もしくは、
（極大）＜０かつ（極小）＞０
と極値が異符号のとき、すなわち、

 （極大値）×（極小値）＜０　は解が３つの条件

ということなんです。





解が２つは、                                                   
このｘ軸が、極値と重なっていたら、解は２つしかないね。




















（ⅰ）は、（極大）＝０　かつ　（極小）＜０　になって、
（ⅱ）は、（極大）＞０　かつ　（極小）＝０　だから、
どちらも、　
（極大）×（極小）＝０
解き方で等号がない理由はここにあるんだよ。
 （極大）×（極小）＝０ は解が２つの条件

解が１つしかないのは次の２つ。                            

極値が、どちらも正：ｘ軸 より上に極値がある

｛（極大）＞０｝× ｛（極小）＞０｝＞０
（極大）×（極小）＞０
になるね。

また、
極値が、どちらも 負：ｘ軸 より下に極値がある

 

これも、
｛（極大）＜０｝× ｛（極小）＜０｝＞０
（極大）×（極小）＞０
になるね。
（極大）×（極小）＞０ は解が１つの条件

 

解説）

問題：y=x³-12a²x+16が異なる３つの解をもつaの範囲。

まずは、微分して極値を出そう。                             

　　 y'=3x²-12a²=0

　　 y'=3(x²-4a²)=3(x-2a)(x+2a)=0

　　∴x=±2a

 

f(x)=x³ -12a²x +16　とおくと、
（極大値）×（極小値）＜０ 

より、(どっちが極大、極小なのかは関係ない）

 

f(2a)×f(-2a)＜0 

{(2a)³ -12a²(2a) +16}{(-2a)³ -12a²(-2a) +16}＜0

　　　{8a³ -24a³ +16}{-8a³ +24a³ +16}＜0

　　　(-16a³ +16) (16a³ +16)＜0

 

(a³ -1) (a³ +1)＞0

(a-1)(a² +a +1) (a+1)(a² -a +1)＞0

　　 ここで、(a² +a +1) と (a² -a +1) は、

 　　　　a² ±a +1= (a±1/2)² -1/4+4/4   = (a±1/2)² +3/4 ＞0

     と、aの値に関係なく正になるので、

 

aの範囲は,

(a-1) (a+1)＞0

しか、関係してないね。

だから、aの範囲は、

　　∴-1＜a, a＜1　

となるよ！

お疲れ様でした☆ ☆☆

数IA:確率:10枚のカードに0から9までの数字が書かれている。三枚同時に抜き出したとき、３つの和が３の倍数である確率

数IA:確率:
10枚のカードに0から9までの数字が書かれている。
三枚同時に抜き出したとき、３つの和が３の倍数である確率。

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
の数字を、
三つに分類してみよう！

①3の倍数
{ｘ＝3n：0,3,6,9｝

②3の倍数＋１
{y＝3n+1：1,4,7}

③3の倍数＋２
{z＝3n+2：2,5,8}

では、
１０枚の中から引かれた３枚をa,b,cとすると、

(a,b,c)　　となるわけだけど、

a+b+c=３m となるには、

x,y,zをどう組み合わせればいいかな？

ⅰ）①＋②＋③のパターン
(a,b,c)=(x,y,z)=(3n,3n+1,3n+2)
だと、
a+b+c=3n+(3n+1)+(3n+2)=9n+3=3(3n+1)=3m
と、３の倍数になるので、

分子は、
{ｘ＝3n：0,3,6,9｝から 1つ
4C1=4通り
と、
{y＝3n+1：1,4,7}から 1つ
3C1=3通り
と、
{z＝3n+2：2,5,8}から 1つ
3C3=3通り
が 、同時に起こる。

分母は、10C3=(10・9・8)/(3・2・1)=5・3・8=120通り

4・3・3 120 ＝ 36 120


ⅱ）①×３ or ②×３ or　③×３のパターン

(a,b,c)=(x,x,x)=(3n,3n,3n)
a+b+c=3n+3n+3n=3(3n)=3m
or
(a,b,c)=(y,y,y)=(3n+1,3n+1,3n+1)
a+b+c=(3n+1)+(3n+1)+(3n+1)=3(3n+1)=3m
or
(a,b,c)=(z,z,z)=(3n+2,3n+2,3n+2)
a+b+c=(3n+2)+(3n+2)+(3n+2)=3(3n+2)=3m
 なので、

(x,x,x)は、
{ｘ＝3n：0,3,6,9｝から 3つ
4C3=4C1=4通り
より、
4 120

(y,y,y)は、
{y＝3n+1：1,4,7}から 3つ
3C3=1通り
1 120


（z,z,z)は、
{z＝3n+2：2,5,8}から 3つ
3C3=1通り
1 120

(a,b,c)が、同時に(x,x,x)と(y,y,y)と(z,z,z)にならないから、

4 120 ＋ 1 120 ＋ 1 120 ＝ 6 120

ⅰ）とⅱ）から、


36 120 ＋ 6 120 ＝ 42 120 ＝ 7 20

でした！！
お疲れ様！（^0^)/

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