高校生と塾講師（家庭教師）のための数学

2022年4月13日水曜日

数A：重複を許してつくる組合せ：整数解の個数　◯ | ◯ ◯ | ◯ ◯

数A：重複を許してつくる組合せ：整数解の個数　◯ | ◯ ◯ | ◯ ◯

（1）x,y,zを正の整数とする。

x+y+z=10を満たす、x,y,zの組みは何通り？

（2）x,y,zをx≧0,y≧0,z≧0を満たす整数とする。

x+y+z=10を満たす、x,y,zの組みは何通り？

（3）x+3y+z=10(x≧0,y≧0,z≧0)を満たす、整数x,y,zの組合せは何通り？

詳しくはこちらの動画で解説しています！

見てね☆

そしてyoutubeのチャンネル登録もよろしくお願いします！

2022年1月13日木曜日

数ⅡB：群数列：マスターへの道その②　群数列の項数が等差数列をなす（a2022は、第何群の何番目か？）

数2B：問題：群数列{an}が以下のように与えられている。

2,4 | 6,8,10,12 | 14,16,18,20,22,24| …|ak , ak+1, …,am|

第1群｜　　第2群　　｜　　　　　　第3群　　　　　｜　…｜　第x群　　｜　

（1）{an}の第x群の最後の項のamのmを求めよ。

（2）{an}の第x群の最初の項のakのkを求めよ。

（3）{an}の第x群の最初の項のakを求めよ。

（4）a2022は、第何群の何番目か？

戻る＜＜数ⅡB：群数列：マスターへの道その①群数列の考え方

解説）

（1）{an}の第x群の最後の項のamのmを求めよ。

第1群、第2群、、、第x群のそれぞれに含まれる項数をならべてみよう。

第1群：2,4 ・・・2個

第2群：6,8,10,12・・・4個

第3群：14,16,18,20,22,24・・・6個

・

第x群：ak , ak+1, …,am ・・・2x個

よって、

第2群の12は第一群から数えて6番目（2個＋4個）のa6 だから、

第x群の最後の項のamのmは、

第1群から第x群までの項数の和となる。

だから、

m＝2＋4＋6＋…＋2x

になるね。

mは等差数列で、初項a=2,　末項ℓ＝2x, 項数n=x(個）なので、

　S＝n(a+ℓ)2

の等差数列の和の公式に代入すると、

m＝x(2+2x)2

m=x(x+1)

でした。

（2）{an}の第x群の最初の項のakのkを求めよ。

第（xー1）群の最後の項apの次が第x群の最初の項akになるね。

| …,ap|ak , ak+1, …,am|

|第(x-1)群｜第 x 群 |

pの次がk つまり、

p+1＝k

だから

ap+1=ak

なので、まずは第（xー1）群の最後の項apのpを考えてみよう。

（1）で第x群の最後の項amは、

m=x(x+1)

と求めたね。

なので、第(x-1)群の最後の項apのpは、xに(x-1)を代入して、

p=(x-1)(x-1+1)

p=(x-1)x

第x群の最初の項akのkは、pの右隣なので1を足して、

p+1＝k　なので、

k=p+1=(x-1)x+1

ak=a(x-1)x+1

となるね。

つまり、答えは・・・

k＝x²-x+1

でした！

（3）{an}の第x群の最初の項のakを求めよ。

まずは、第1群や第2群、第3群の最初の項がどうなっているのかをみてみよう。

第1群：2,4 ・・・2

第2群：6,8,10,12・・・6

第3群：14,16,18,20,22,24・・・14

ぱっと見て法則性を見つけるのは難しそう。

（2）で第x群の最初の項akのk＝x²-x+1だったね。

第2群の最初の項はどうだろう？

k＝2²-2+1＝4-2+1=3

第2群の最初の項はa3で、

a3＝3×2＝6

第3群の最初の項はこうなるね。

k＝3²-3+1＝9-3+1=7

第3群の最初の項はa7で、

a7＝7×2＝14

kを2倍している！！

つまり、今回の数列は

ak＝2k

だね！

第x群の最初の項は、

k＝x²-x+1

なので、第x群の最初の項はax²-x+1で、

ax²-x+1＝(x²-x+1)×2=2x²-2x+2

答えは、

{an}の第x群の最初の項 ak＝2x²-2x+2

でした！

（4）a2022は、第何群の何番目か？

今回の数列は、

akのk＝x²-x+1

になっていたね。

2022に一番近くなりそうなxはなんだろう？

x²-x+1＝x(x-1)+1≒x²

だから、

x²

で、2022 に近い数を考えてみると、

いや、簡単のため 2000に近い数を考えてみると、

x²＝2000=20×100＝400×5

x=20√5≒20×2.2=44

だから、第44群にあるのかな？

第44群の最初の項akのkは、

k=44²-44+1=1936-44+1=1893

第44群の最初の項はa1893だね。

じゃあ、第45群の最初の項akのkはいくつだろう？

k=45²-45+1=2025-45+1=1981

第45群の最初の項はa1981だね。

第44群に含まれる項数は、1981-1893+1=89

なので、

第45群の最後の項はa1981＋89＋αとなり、kは2022を突破しているはず。

よって、第45群にa2022は含まれてるはずだね。

一応第46群の最初の項を調べてみると、

k=46²-46+1=2116-46+1=2071

で、

第46群の最初の項はa2071とやっぱり突破してた。

だから、第45群にa2022は含まれてる！！

第45群の最初の項はa1981だったね。

例として、第45群の第3項の3はどうやって求められるかな？

第45群の第1項：a1981

第45群の第2項：a1982

第45群の第3項：a1983

だから、

1983-1981+1=2+1=3

この3は第3項、つまり3番目ということなんだね。

では、

第45群の第1項：a1981

…

第45群の第y項：a2022

だから、yは・・・

y=2022-1981+1=42

42は第42項、つまり42番目ということなんだね。

だから、a2022は、

第45群の42番目

なんだ！！

お疲れ様でした！

戻る＜＜数ⅡB：群数列：マスターへの道その①群数列の考え方

_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/

数列の集中講義 (教科書Next)

新品価格
￥1,650から
(2022/1/13 23:43時点)

数ⅡB：群数列：マスターへの道その① 群数列の考え方

数2B:問題：{an}の群数列が以下のように与えられている。第x群の最後の項のamのmを求めよ。

a1　 |a2 , a3| a4 , a5 , a6|・・・|・・・|ak , ak+1, ・・・,am|

第1群｜第2群　｜　第3群　　｜　・・・　｜　・・・　｜　　　　第x群　　　　｜　

次へ＞＞数ⅡB：群数列：マスターへの道その②　群数列の項数が等差数列をなす

何じゃこの群数列！？難しい！って思いますか？

一つ一つみていきましょう！

解説）

これは、第1群、第2群、・・・、に含まれるものを並べるとこうなるね。

第1群：a1・・・1個

第2群：a2 ,a3 ・・・2個

第3群：a4 ,a5 ,a6・・・3個

・

第x群：ak, ak+1, …,am・・・x個

次に、第x群の最後の項のmの数字を知るために、

まず具体的に考えてみよう。

第3群の最後の項は”a6”だけど、この6はどこからきているのかな？

それは、

（第1群の項数）＋（第2群の項数）＋（第3群の項数）

＝1＋2＋3＝6

と、第1群から第3群の項数の和から来ているね。

では、第x群の最後の項amのmの数はどうやって求められるかな？

同じように、

（第1群の項数）＋（第2群の項数）＋・・・・＋（第x群の項数）

＝1＋2＋3＋・・・＋（x - 1)＋x　= m　　

だね。

つまり、

第x群の最後の項のamのmは、

（第1群の項数）から（第x群の項数）までの和

となるんだ！！

今回は群数列の区切りかたが、等差数列になっているね。（別の数列の区切り方もある）

では、mを求めてみよう。

　m = 1＋2＋3＋・・・＋（x - 1)＋ x　

だから、

mは、初項a＝1、末項ℓ＝x、項数n＝x　の等差数列の和

等差数列の和の公式は、

S＝ n(a+ℓ) 2

なので、代入すると

m＝x(1＋ℓ)2

となるんだね。

お疲れ様でした。

次へ＞＞数ⅡB：群数列：マスターへの道その②　群数列の項数が等差数列をなす

_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/

☆こちらもおすすめ☆

改訂版坂田アキラの数列が面白いほどわかる本 (坂田アキラの理系シリーズ)

新品価格
￥1,430から
(2022/1/13 17:21時点)

2013年7月3日水曜日

数ⅠＡ：命題：必要条件、十分条件のマスターへの道（その③『数直線』：「ｘ＜１０」は「ｘ≦２」のＯＯ条件）

必要条件、十分条件のマスターへの道（その③『数直線』：「ｘ＜１０」は「ｘ≦２」のＯＯ条件）

さてさて、必要十分条件シリーズも３回目になり、そろそろ慣れてきたかな？

２つ戻る＜＜必要条件、十分条件のマスターへの道（その①『基本的な理解』：「お菓子」は「プリン」のＯＯ条件）

戻る＜＜必要条件、十分条件のマスターへの道（その②『実践編』：「２で割れる数」は「４で割れる数」のＯＯ条件）
今回は、数直線の範囲とベン図の関係に注目して問題を解いていこう。

問題：「ｘ＜１０」は「ｘ≦２」のＯＯ条件

<ポイント>数直線とベン図を描く
-----------------------------------------------
１．数直線とベン図を描く
２．ベン図から必要条件か十分条件かを読み取る
３．答え
------------------------------------------------
１．数直線とベン図を描く

まず初めに、
Ｐ＝｛ｘ＜１０｝
Ｑ＝｛ｘ≦２｝

と置いて数直線を描いてみよう。

２．ベン図から必要条件か十分条件かを読み取る

問題は、
Ｐ「ｘ＜１０」（外側）は、Ｑ「ｘ≦２」（内側）にとってのＯＯ条件。

つまり、
「お菓子」（外側）という属性は、「プリン」（内側）であるために、必ず必要な条件だったので、

今回の答えは、

３．答え
「ｘ＜１０」は、「ｘ≦２」にとっての必要条件

ということだね！！

お疲れ様でした☆（＾-＾）ｖ

２つ戻る＜＜必要条件、十分条件のマスターへの道（その①『基本的な理解』：「お菓子」は「プリン」のＯＯ条件）

戻る＜＜必要条件、十分条件のマスターへの道（その②『実践編』：「２で割れる数」は「４で割れる数」のＯＯ条件）

最短1ヶ月で動画編集スキルが身につく！【クリエイターズジャパン】

数ⅠＡ：命題：必要条件、十分条件のマスターへの道（その②『実践編』：「２で割れる数」は「４で割れる数」のＯＯ条件）

必要条件、十分条件のマスターへの道（その②『実践編』：「２で割れる数」は「４で割れる数」のＯＯ条件）

さてさて、前回のベン図の図式はばっちりかな！？

戻る＜＜必要条件、十分条件のマスターへの道（その①『基本的な理解』：「お菓子」は「プリン」のＯＯ条件）

次へ＞＞必要条件、十分条件のマスターへの道（その③『数直線』：「ｘ＜１０」は「ｘ≦２」のＯＯ条件）

今回は、実践編。

問題：「２で割れる数」は「４で割れる数」のＯＯ条件

について、考えるよ。
----------------------------------------------
＜ポイント＞
・よくわからないものは、別の言葉に置き換える。
-----------------------------------------------
１．問題を別の言葉に置き換える
２．大きいくくりを見分ける

３．具体的な数字を入れて正しいベン図を見分ける

４．日本語に置き換えて図を理解してみる

５．答え

１．問題を別の言葉に置き換える

さっそく、置き換えてみよう！

「２で割れる数」→「２の倍数」

「４で割れる数」→「４の倍数」

つまり、問題は・・・

「２の倍数」は「４の倍数」のＯＯ条件。

という問題にかわるね。

２．大きいくくりを見分ける

次に、①、②の真偽を考えるよ。反例があるかを考えてね。

①「２の倍数」→「４の倍数」：「２の倍数」なら何を選んでも「４の倍数」になる。という意味！
②「２の倍数」←「４の倍数」：「４の倍数」なら何を選んでも「２の倍数」になる。という意味！

　　　「どっちも正しいような・・・＾＾；」

　「よくわからないな～」

そんな時は、反例を考えてみよう！！

3.具体的な数字を入れて正しいベン図を見分ける

偶数を考えてみよう。

2,4,6,8,10

これらで、

「６」などは、ポイントだね！

「６」は「２の倍数」だけれど、「４の倍数」では無いからだよ。
では、
反例：「６」はどちらの図式が正しいかな？

①は「６」は「２の倍数」だけど、「４の倍数」でない。

②は「６」は「４の倍数」だけど、「２の倍数」でない。

「なるほど！！」＾０＾//

それなら、正しいのは・・・

①だね。

　　「まあ、それはわかったけどこれは、必要条件なの？十分条件なの？」

そう思うよね。＾＾

ちなみに問題は、

「２の倍数」は「４の倍数」のＯＯ条件。

だったね。（主語：「２の倍数」）

４．日本語に置き換えて図を理解してみる

図ではこうだったね＾-＾/

ではでは、日本語の例に置き換えてみましょう。＾＾ｖ

これは、「お菓子」と「プリン」でいうと、

「お菓子」＝「２の倍数」

「プリン」＝「４の倍数」

主語：
「お菓子」
「２の倍数」

なので、この場合に文が正しいのを２つ選べば・・・
①「お菓子」という属性は、「プリン」を十分満たしている。
②「お菓子」という属性は、「プリン」にとって必ず必要な条件。
③「プリン」は、「お菓子」という属性を十分満たしている。
④「プリン」は、「お菓子」という属性にとって必ず必要な条件。

②と③で、
主語が「お菓子」なのは、
②。

これを、
「お菓子」＝「２の倍数」、「プリン」＝「４の倍数」に置き換えると・・・

②「お菓子」という属性は、「プリン」にとって必ず必要な条件。
②「２の倍数」という属性は、「４の倍数」にとって必ず必要な条件。

だから、
答えは・・・

５．答え

「２で割れる数」は「４で割れる数」の必要条件

なんだね！！＾　＾

どうかな？これで、バッチリ！？
（慣れてくるとベン図を見ただけで、必要条件か十分条件か見分けられるようになるよ。）

戻る＜＜必要条件、十分条件のマスターへの道（その①『基本的な理解』：「お菓子」は「プリン」のＯＯ条件）

次へ＞＞必要条件、十分条件のマスターへの道（その③『数直線』：「ｘ＜１０」は「ｘ≦２」のＯＯ条件） ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

数ⅠＡ：命題：必要条件、十分条件のマスターへの道（その①『基本的な理解』：「お菓子」は「プリン」のＯＯ条件）

数ⅠＡ：命題：必要条件、十分条件のマスターへの道（その①『基本的な理解』）

次へ＞＞必要条件、十分条件のマスターへの道（その②『実践編』：「２で割れる数」は「４で割れる数」のＯＯ条件）

次の次へ＞＞必要条件、十分条件のマスターへの道（その③『数直線』：「ｘ＜１０」は「ｘ≦２」のＯＯ条件）

必要条件、十分条件ってよくわからないよね（＾＾；）

苦手な君も大丈夫！
一緒にステップアップしていけば、センター試験の問題も解けるようになるよｖ

まずは、『日本語』でこの関係をみてみよう＾－＾

問題１：「お菓子」は「プリン」にとってＯＯ条件
----------------------------------------------------------
１．「お菓子」と「プリン」の関係を考えてみよう！
２．「お菓子」と「プリン」の関係をベン図に描いてみよう。
３．では次に矢印の方向の真偽を確認しておこう。
４．主語（主体）がどちらかで、必要条件か十分条件かが変わる！
５．答え
６．補足
７．ベン図の絶対
----------------------------------------------------------
＜考え方＞

１．「お菓子」と「プリン」の関係を考えてみよう！

どちらが、大きいくくりかな？

　　Ａ：「お菓子」というおおきなくくりの中に、「プリン」や「あめ」などがあるね。

２．「お菓子」と「プリン」の関係をベン図に描いてみよう。

「お菓子」の方が「プリン」の外側の意味だね。

３．では次に矢印の方向の真偽を確認しておこう。

①と②正しいのはどっちかな？

①「お菓子」であれば「プリン」しかない。
②「プリン」は「お菓子」である。

正解は・・・

②だね。
①は、なぜ間違いかな？
「お菓子」であっても「プリン」以外が存在するから。「お菓子」であれば「あめ」もある。
この「あめ」を反例などというよ。

さて、これを真偽の矢印で表すと・・・

４．主語（主体）がどちらかで、必要条件か十分条件かが変わる！

今回の問題は・・・

「お菓子」は「プリン」のＯＯＯ条件。
だったね。

では、どの文章が正しいかな？

③「お菓子」であることは、「プリン」を十分に満たしている。
④「お菓子」という属性は、「プリン」であるために必ず必要な条件である。
⑤「プリン」であることは、「お菓子」を十分に満たしている。
⑥「プリン」という属性は、「お菓子」であるために必ず必要な条件である。

正しい文章は・・・

④と⑤だね。

そして今回の問題の主語は、

「お菓子」は「プリン」のＯＯＯ条件。

とあるように、「お菓子」が主語。

なので、 ④と⑤のどちらを選ぶかというと、

④「お菓子」という属性は、「プリン」であるために必ず必要な条件である。
の「お菓子」が主語になっている方を選ぶよ。

５．答え

「お菓子」は「プリン」の必要条件。

６．補足

「プリン」は「お菓子」にとってのＯＯ条件

と言われれば、