ⅠA：場合の数：正の約数の個数：『７２０の正の約数の個数と約数全体の和』（高１）

正の約数の個数は、
①素因数分解する。
②各々の（次数＋１）の積。
で求めるよ。

例えば・・・
４５=３²×５
ならば、
（２＋１）（１＋１）＝３・２＝６個。
なぜ＋１するのかというと、０乗である１を考える必要があるからです。
つまり・・・、（５は０乗と１乗を考え、３は０、１、２乗を考える。）
３⁰×５⁰ =1×１＝１
３⁰×５^１=1×５＝５

３^１×５⁰ =３×１＝３

３^１×５^１=３×５＝１５

３^２×５⁰ =９×１＝９

３^２×５^１=９×５＝４５

の（１,３,５,９,１５,４５）６個だからです。＋１しなきゃいけないね。

題１：『７２０の正の約数の個数を求めよ』

動画で解説してみたよ↓


解答）
①７２０を素因数分解すると・・・

2 )720
2 )360
2 )180
2 ) 90
3 ) 45
3 ) 15
      5

よって、
720 = 2⁴ × 3² × 5

②これは、
（4＋１）・（２＋１）・（１＋１）＝５・３・２＝３０個
でした。

題２：『７２０の正の約数全体の和を求めよ』

解答）

（１＋2^１＋2^２＋2³＋2⁴）・（１＋3^１＋3^２）・（１＋５）  　←このかたちが大事！

　　　　　　↑分配すると１＋２＋３＋４＋５＋６＋８＋・・・＋７２０と出てくるでしょ。

=(1+2+4+8+16)・(1+3+9)・(6)

=31・13・6=2418

でした！

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チャームカラーコンタクト

ⅠA:順列：辞書式配列：『P,O,W,E,Rを辞書式に配列したとき、POWERは何番目？』(高１）

辞書式配列は、先頭の文字を決めて、残りの順列を考えるよ。


題：『P,O,W,E,Rを辞書式に配列したとき、
　　　POWERは何番目？』

『RAMEN』と『APPLE』の辞書式配列は動画で解説してます。見てみてね！

解答）
辞書式だから、アルファベット順ということだね。
つまり、最初の並びは、
EOPRW　で、
次が、
EOPWR　だね。


まず、先頭がEで続く順列を考えよう。

E＊＊＊＊　　・・・この＊には、E以外の残りの４つを並べるので（O,P,R,W）

４！＝４・３・２・１＝２４通り

次に、Oは、
O＊＊＊＊　　・・・なので、同じで

４！＝２４通り

次は、P。
だから、Pで始まる最初の文字列は２４＋２４＝４８の次だから４９番目になるけれど、
それは、置いといて・・・・

PE＊＊＊　が　
３！＝３・２・１＝６通り

POE＊＊　が
２！＝２通り

POR＊＊　が
２！＝２通り

POW＊＊　は、POWER、POWREとなるので、
このPOW＊＊の最初の文字が、POWER。

だから、
２４＋２４＋６＋２＋２＝５８番目の次が、POWER。
よって、

５８＋１＝５９番目

が答え。

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ⅡB：不等式の証明：相加相乗平均の使い方：『ab+2/(ab)≧2(√2)』：（高２）

不等式の証明のときに相加相乗平均を使うことがありますが、どうやって使うのでしょうか。

相加相乗平均
x+y 2 ≧√xy

右辺のxとyが、かけられている事に注目！

かけて文字が消える逆数の関係のものを、xとyにおきます。

では早速例題で見てみましょう！

題：ab + 2 ab ≧ 2√2

解答）
ab と 2ab をかけるとabが約分されて消えるね。
だから、公式を変形して

x+y≧2√xy
をつかい、
x=ab, y= 2ab として
（左辺）=ab + 2ab ≧2√ab・√2√ab 　←公式より。問題の2√2の右辺はほっとく。

2√ab・√2√ab 　=2√2　　　　　　　　　←計算して、問題の右辺と同じになった！

よって、ab + 2ab ≧ 2√2  　　　　　　　  不等号”＞”成立。

等号成立は・・・

ab + 2ab ＝ 2√2　　　　　←と”＝”のときも考える。等号成立も証明しないといけないよ。

両辺に、abをかけて、移項すると・・・

(ab)²-2√2ab +2=0

(ab-√2)²=0

よって、
ab=√2 のとき、等号成立。

おしまい。
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ⅡB：２次不等式：x^2-(a-3)x-2a+2>０を満たすｘの範囲：２次関数（高２）

２次不等式：x²-(a-3)x-2a+2>０を満たすｘの範囲

解法）
前回の(ｘ－a) (ｘ－b)≧0のように考えるために、因数分解をしよう。

x²-(a-3)x＋(-2a+2)をたすき掛けすると、
（-2a+2）=2(-a+1)だから・・・

x	+2	(-a+1)x
x	-a+1	2x
x2	2(-a+1)	(-a+3)x

x²-(a-3)x-2a+2>０は

(x + 2) (x -a +1) >0
(x + 2) (x -a +1)=0　の条件を考えると、
x=-2,x=a-１　が境になるね。（でも-2とa-1はどっちが大きいんだろう？）

この場合も①②③と場合わけしないとね。

-2<a-1・・・①　　計算すると、aは（-1<aのとき）
-2=a-1・・・②　　よって、(a=-1のとき）
a-1<-2・・・③　　よって、（a<-1のとき）

の大小関係が存在するね。aは（　）の条件がつくね。

今回は２次関数y=x²-(a-3)x-2a+2
x²-(a-3)x-2a+2>０
y>０
は下に凸でｘ軸より上の範囲をとるよ。


①と③は、下図。

このとき①は（図でa<ｂ）に倣って、
-2<a-1だから、
ⅰ）ｘ<-2 , a-1<x　（-1<aのとき）となるね。

また、③は　a-1<-2　より、
ⅱ）x<a-1 , -2<x （a<-1のとき）。




問題は②。
「-2=a-1・・・②　　よって、(a=-1のとき）」
a=-1 を　(x + 2) (x -a +1) >0 に代入すると、ｘがわかるから・・・
（x＋２）（ｘ－（－１）＋１）＞０
（ｘ＋２）² ＞０
よって、
ｘ＜-2,　-2＜xなので、ｘは-2を含まないんだ。つまり・・・、
”ⅲ）ｘ=２以外のすべての実数　(a=-1のとき）”という日本語が答えだね。

よって答えは、ⅰ）,ⅱ）,ⅲ）の３つの青を一緒に書くと・・・

ｘ<-2 , a-1<x　　　　（-1<aのとき）

ｘ＝２以外のすべての実数 　(a=-1のとき）

x<a-1 , -2<x 　　 　（a<-1のとき）

となります！答案は赤と青を書けばOK。グラフは書いたほうがわかりやすいと思うよ。

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ビューティーラッシュ

ブログで数式 ２乗を書く方法。

HTMLで<SUP></SUP>を付ければ良かったんですね。

HTMLで、

x²
とかくと、
x²
と表示されます！！

http://www.htmq.com/html/sup.shtml
↑参照させていただきました！

以前のもよかったんですが・・・
αやβが表示されなかったで（＾＾；）/

ⅡB：２次不等式：（ｘ－a）（ｘ－b）≦０を満たすｘの範囲：２次関数（高２）

２次不等式：（ｘ－a）（ｘ－b）≦０を満たすｘの範囲

では、（ｘ－a）（ｘ－b）≦０を解いてみよう。

解法）
まず、
a＜b　・・・①
a＝b　・・・②
b＜a　・・・③
の３通りがあるね。

左辺をｙと置くなら、
ｙ＝（ｘ－a）（ｘ－b）は２次関数だから、

①は、
a＜b　

 （ｘ－a）（ｘ－b）≦０　
つまり
y≦0  [(左辺)=ｙ＝（ｘ－a）（ｘ－b）]
つまり、青のｘ軸より下に存在する２次関数が
範囲だから、



答え ①
a≦x≦ｂ　(a＜bのとき)

 ②は、
a＝b　・・・②は下図。（赤丸は黒丸、aとbを含む。）

（ｘ－a）（ｘ－b）＝０　つまり　y＝0

ｙ＝０のときｘのとる範囲は１点、

答え②
ｘ=a=b　(a＝bのとき)






 ③は、
b＜a　・・・③は左図。
①と考えは同じだね。だから、






答え③
b≦x≦a　(b＜aのとき)








よって答えは、赤の答え①②③で書いたｘの範囲をまとめて書く。
 （ｘ－a）（ｘ－b）≦０を満たすｘの範囲は、
答え
a≦x≦ｂ　(a＜bのとき)
ｘ=a=b　(a＝bのとき)
b≦x≦a   (b＜aのとき)


となります。

お疲れ様でした☆

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ⅡB：円の方程式：『点（2,1）を通り、両座標軸に接する円の方程式』：図形と方程式（高2）

円の方程式：『点（2,1）を通り、両座標軸に接する円の方程式』

道具：(x-s)² +(y-t)² =r²
        両座標軸に接する⇒①中心（s,t）はy=±xを通る⇒中心(s,±s)と置く。
                                  　問題より点（2,1）が第一象限だから中心は(s,s)とする。
                                  ②半径の長さは中心のx座標（y座標）と同じなのでｒ=sと置く。

よって式は

(x-s)² +(y-s)² =s²

ある１点を通り、両座標軸に接する円は２つ存在します。

解法）
点P（2,1）を

(x-s)² +(y-s)² =s²

の（x,y）へ代入すると・・・

(2-s)² +(1-s)² =s²

展開して、右辺を移行すると、

s² -4s+4　+s² -2s+1　-s² =0

s² -6s+5=0

よって、

(s-1)(s-5)=0
s=1,5

これを (x-s)² +(y-s)² =s² に代入して、

(x-1)² +(y-1)² =1
(x-5)² +(y-5)² =25

の２式が答えです。

お疲れ様でした！
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