ⅠA：順列：円順列：大人２人と子供４人が円卓にすわるときの場合の数。（１）大人２人が隣り合う。（２）大人２人が向かい合う。（３）大人２人に特定の子がはさまれる。

ⅠA：順列：円順列：
大人２人と子供４人が円卓にすわるときの場合の数。

円順列の公式：
ｎ個を円形にならべる。
（ｎ－１）！

↑動画解説はこちらから↑

（１）大人２人が隣り合う。
隣り合う人たちは１人と考えるよ。そのあとで、そのグループ内の順列を考えるんだ。

なので、大人の１グループと子供４人の、
合計５人の円順列だね。
（５－１）！＝４！＝４・３・２・１＝２４通り

そして、大人のグループ内（大、大）で、
①父母
②母父
の並びがあるから、
２！＝２・１＝２通り

同時に起こるね。
２４・２＝４８通り

（答え）４８通り


（２）大人２人が向かい合う。

大人２人が向かい合っている図を書いてみよう。

すると、
父の右手の席①と左手の席②
母の右手の席③と左手の席④
これは、特別な席だね。父と、母が入れ替わっても、父の右手の席は１つしかない①。

だから、①②③④の席を、子供たちが選んで座る、ただの順列（円順列ではない）なんだ。

４！＝４・３・２・１＝２４通り

（答え）２４通り



（３）大人２人に特定の子がはさまれる。

はさまれるのは、特定の子１人だけだね。
父、母、高２、中３、小５、幼児、の家族なら、幼児がはさまれる！
あとの子は、どこ座ってもいいよー、ってわけ。

だから、（父、幼児、母）、（高）、（中）、（小）の
４グループで、円順列をするよ。
（４－１）！＝３！＝３・２・１＝６通り




幼児の左と右に父、母のそれぞれの２パターンあるから、
①（父、幼児、母）
②（母、幼児、父）

６・２＝１２通り

（答え）１２通り
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↑動画解説はこちらから↑

ⅠA:順列：男女の並び：男女４人の合計８人が１列に並ぶ、（１）男女交互（２）男子両端

ⅠA:順列：男女の並び：
男女４人の合計８人が１列に並ぶとき

（１）男女交互
男４人の順列と女４人の順列をバラバラに考えて、
男が先頭のときと女が先頭のときの２パターンと考えるよ。

男１、男２、男３、男４
４！＝４・３・２・１＝２４通り

女１、女２、女３、女４
４！＝４・３・２・１＝２４通り

①男女男女男女男女　
２４・２４＝５７６通り　　・・・男の２４通りに対して、女も２４通りあるね。

②女男女男女男女男
５７６・２＝１１５２通り　・・・２パターンだから×２だよ。

（答え）１１５２通り

（２）男子両端

男、誰１、誰２、誰３、誰４、誰５、誰６、男

男枠が両端にあるね。
ここに、男４人の中から、二人が選ばれるんだ。
４P２＝４・３＝１２通り

誰枠。これは、誰が入ってもいい６つの枠、
つまり残りの６人（男２人、女４人）だね。
６！＝６・５・４・３・２・１＝７２０通り

これらは、同時に起こるから、
１２・７２０＝８６４０通り

（答え）８６４０通り


＊ポイント＊
（２）のようなときは、より限定されている条件を先に考えるのがコツだよ。


 

ⅠA:順列：整数：『0,1,2,3,4,5,6』の７個の数字から、異なる４個の数字を選び、４桁の整数を作る。(1)4桁の整数。(2)奇数。(3)偶数。

題：『0,1,2,3,4,5,6』の７個の数字から、異なる４個の数字を選び、
４桁の整数を作る。
(1)4桁の整数。(2)奇数。(3)偶数。

↑動画解説はこちらから↑

　ポイント：特殊な条件のところを先に決めてしまおう！

(1)4桁の整数
ABCDの４桁とすると、Aには「１,2,3,4,5,6」のどれか一つが入り、それは６通り。
（Aの千の位が特殊な場所だね。ex/0123,0425は４桁じゃないから0は除くんだね。）

残りBCDには「0とAで使わなかった５つの数字」「0,?,?,?,?,?,a」の６つから３つを並べて、


6P3=６・５・４=120通り。

これのかけ算！（AとBCDは同時に起こるよ。）

６（A）・6P3（BCD）=６・１２０=７２０通り。・・・・（答え）

別解）
0を含む４桁の整数は、
「7P4 =７・６・５・４=840通り」
0が先頭の場合は、0XXXと0を除く６つを３つに並べて、
「6P3=６・５・４=120通り。」
これを除くから・・・

7P4-6P3=840-120=720通り。
でもOK！

（２）奇数。
ABCDの４桁で、
ⅰ)Dには『0,1,2,3,4,5,6』（1,3,5）の３通りが入るね。（一の位が奇数）

ⅱ）Aには、0と（ⅰ）の数字以外の５通りが入るね。
（ここで、ⅰの方がⅱよりもより特殊だよ。
Aの千の位を先に考えると、Dを考えるとき、Aが奇数→Dに入る奇数は残り２つ、
Aが偶数→Dに入る奇数は残り３つ。と場合分けが生じてくるね。）

ⅲ）残りのBCは、残りの５つの数字を２つ並べるので、

5P2=５・４=20通り。

ⅰ,ⅱ,ⅲは、同時に起こるから、かけ算！
D・A・BC＝３・５・2０＝300通り。　・・・・（答え）


(3)偶数。
ABCDの４桁で、


ⅰ)一の位Dが２か４か６のときは、
Dが3通り。
Aが、０とⅰで選ばれたどちらかの数字以外の、残りの５通り。
残りのBCは、『0,a,d,?,?,?,?』残りの５つから２つ並べて、5P2=５・４=20通り。

よって、
D・A・BC＝３・５・2０＝300通り。
ここまでは、奇数と同じパターンでしたね。

ⅱ）一の位が０の時、
Dは、０の１通り。
ABCは残りの『1,2,3,4,5,6』６つから３つを並べて、6P3=６・５・４=120通り。
(A千の位の0を考えなくていいんだね。D一の位で0を使っているから！)　

ⅰ（？？？２、？？？４、？？？６）と、ⅱ（？？？０）は、
同時に起こらないので、たし算！

３・５・5P2 + 6P3 =300 + 120 =420通り。　・・・（答え）

別解）全体と片方がわかっていれば・・・


（１）４桁の整数７２０＝（２）４桁の奇数３００　＋　（３）４桁の偶数４２０　なので、


（３）の４桁の偶数を求めるときは、
　　＝（１）４桁の整数７２０　－　（２）４桁の奇数３００　
（２）の４桁の奇数を求めるときは、
　　＝（１）４桁の整数７２０　－　（３）４桁の偶数４２０
ですね。

これで整数の順列はバッチリ！！
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↑動画解説はこちらから↑

数ⅠA：集合と論理：生徒１００人に数学と英語の試験。数学の合格者は５０人、英語の合格者は７５人、両方とも不合格のものは１０人であった。両方とも合格したものは何人か。（高１）

数ⅠA：集合と論理：
生徒１００人に数学と英語の試験を行った。
数学の合格者は５０人、英語の合格者は７５人、両方とも不合格のものは１０人であった。
両方とも合格したものは何人か。（高１）

動画で解説してみたよ↓



解法）
このような問題は、ベン図を書き、一つ一つの領域を文字として置こう！

全体:U、数学の合格者:M、英語の合格者:E、両方とも不合格のもの:X、とすると、

n(U)=m+w+e+x=100　・・・①

n(M)=m+w=50　　　　 ・・・②

n(E)=e+w=75           ・・・③

n(U)-n(MUE)=x=10　　・・・④


①の式に②、③、④を代入します。
が、③が代入できません！
そこで、③を式変形します。
e+w=75
e=75-w  ・・・③’



これを、③の代わりに代入すると、①は、
m+w+e+x=100　
50+75-w+10=100　
よって、
135-100=w
w=35。

両方とも合格したものは、35人。
となるんだね。

（２）数学だけ合格したものは何名か。
(m+w)-w =50-35 =15人。

（３）英語だけ合格したものは何名か。
(e+w)-w =75-35 =40人。

（４）少なくとも一方に合格したものは何名か。

少なくともは、全体から不合格を引くので、

n(U)-x=100-10=90人。

 これは、(1)+(2)+(3)=35+15+40=90人。と求めることもできるよ。
また、n(M)+n(E)-n(M∧E)=50+75-35=90人。と求めることもできるね。

今回の問題は、
１．全ての領域を文字で置く。
２．代入できるものを代入して、余ったものは式変形して代入する。
ってのがコツだったね。

お疲れ様でした☆

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大豆由来のこだわりプロテイン「ジェシカズ・フォーミュラ」

ⅠA:不等式と方程式:絶対値と不等式:『|x+2|＜５と|x-2|≧７』:(高１)

題：『|x+2|＜５と|x-2|≧７』

絶対値と不等式の基礎知識
まず、この２点をおさえよう。
　1.絶対値の中は正。ex)|-2|=2.
　2.不等式は両辺に-1が、かけられると口が逆になる。ex)-x>2 ⇒ x<-2.


また、絶対値内が文字ならば、±を付けて外せる。
ex)
|x|=2
x=±2 (x=2,-x=2)

では、本題です。
題：『①|x+2|＜５と②|x-2|≧７』
解法）
①|x+2|＜５

プラスはそのまま
+(x+2)＜5　と、

マイナスは口と符号が反転
-(x+2)＜5
x+2＞-5
-5＜x+2　　より、
一気に、
-5＜x+2＜5　           と解きましょう。５は-５よりおおきいのでおかしくないですね。
-5-2＜x+2-2＜5-2    全辺に-2をします。真ん中をxにしたいから、+2が邪魔なのです。
-7<x<3







おしまい。

②|x-2|≧７
さっきの①のように一気に解こうとすると、おかしなことになります。
間違い×
７≦x-2≦-７
なぜ間違いなのでしょうか？
-7は7より大きくはないのです。

正解◎
この場合は、場合分けして答えとなります。

ⅰ)７≦x-2
7+2≦x
9≦ｘ

ⅱ）x-2≦-７
x≦-7+2
x≦-5

ⅰ）,ⅱ）より、x≦-5, 9≦ｘ　。

おしまい。

////////////////////////////////////////////////// グッドライフ

ⅠA：場合の数：二項定理：『（a-3b)^5,[a^2b^3]の係数』（高１）

題：『(a-3b)⁵を展開したときの、[a²b³]の係数』

二項定理をみておこう。

(a+b)ⁿ=_nC₀aⁿb⁰+_nC₁a^n-1b¹+・・・+_nC_ra^n-rb^r+・・・+_nC_na⁰bⁿ


この_nC_ra^n-rb^rに注目しよう！
要するに、_nC_rの部分のnとｒがわかれば解ける！

ｎは、(a+b)ⁿのnと同じ。

ｒは、求めたい、ｂの指数。（もしくは、n-”aの指数 ”)
つまり、
(a+b)⁸で、[a³b⁵]なら、r=5.(r =8-3)→_８C_５
(a+b)¹²で、[a¹⁰b²]なら、r=2.(r =12-10)→_１２C_２
(x+1)⁶で、[x⁴]なら[x⁴1²]より、r=2.(r =6-4)→_６C_４


それでは、本題。
問題：『(a-3b)⁵を展開したときの、[a²b³]の係数』を求めよ。
解法）

_５C_３(a)^２(-3b)^{３ 　　　　　　　　　　　;}文字aとbはa²b³となり、係数ではないので省く。

（５・４・３/３・２・１）・(１)^２・(-3)^３
＝１０・（－２７）　　　　　　　　
＝－２７０

おしまい。

ポイント）(a-3b)⁵から後ろをチョイスするとき、
(-3b)^３ と、「符号と係数」を持ってくるのを、お忘れなく！

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JJ ENGLISH エクササイズ

ⅠA：場合の数：正の約数の個数：『７２０の正の約数の個数と約数全体の和』（高１）

正の約数の個数は、
①素因数分解する。
②各々の（次数＋１）の積。
で求めるよ。

例えば・・・
４５=３²×５
ならば、
（２＋１）（１＋１）＝３・２＝６個。
なぜ＋１するのかというと、０乗である１を考える必要があるからです。
つまり・・・、（５は０乗と１乗を考え、３は０、１、２乗を考える。）
３⁰×５⁰ =1×１＝１
３⁰×５^１=1×５＝５

３^１×５⁰ =３×１＝３

３^１×５^１=３×５＝１５

３^２×５⁰ =９×１＝９

３^２×５^１=９×５＝４５

の（１,３,５,９,１５,４５）６個だからです。＋１しなきゃいけないね。

題１：『７２０の正の約数の個数を求めよ』

動画で解説してみたよ↓


解答）
①７２０を素因数分解すると・・・

2 )720
2 )360
2 )180
2 ) 90
3 ) 45
3 ) 15
      5

よって、
720 = 2⁴ × 3² × 5

②これは、
（4＋１）・（２＋１）・（１＋１）＝５・３・２＝３０個
でした。

題２：『７２０の正の約数全体の和を求めよ』

解答）

（１＋2^１＋2^２＋2³＋2⁴）・（１＋3^１＋3^２）・（１＋５）  　←このかたちが大事！

　　　　　　↑分配すると１＋２＋３＋４＋５＋６＋８＋・・・＋７２０と出てくるでしょ。

=(1+2+4+8+16)・(1+3+9)・(6)

=31・13・6=2418

でした！

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チャームカラーコンタクト

ⅠA:順列：辞書式配列：『P,O,W,E,Rを辞書式に配列したとき、POWERは何番目？』(高１）

辞書式配列は、先頭の文字を決めて、残りの順列を考えるよ。


題：『P,O,W,E,Rを辞書式に配列したとき、
　　　POWERは何番目？』

『RAMEN』と『APPLE』の辞書式配列は動画で解説してます。見てみてね！

解答）
辞書式だから、アルファベット順ということだね。
つまり、最初の並びは、
EOPRW　で、
次が、
EOPWR　だね。


まず、先頭がEで続く順列を考えよう。

E＊＊＊＊　　・・・この＊には、E以外の残りの４つを並べるので（O,P,R,W）

４！＝４・３・２・１＝２４通り

次に、Oは、
O＊＊＊＊　　・・・なので、同じで

４！＝２４通り

次は、P。
だから、Pで始まる最初の文字列は２４＋２４＝４８の次だから４９番目になるけれど、
それは、置いといて・・・・

PE＊＊＊　が　
３！＝３・２・１＝６通り

POE＊＊　が
２！＝２通り

POR＊＊　が
２！＝２通り

POW＊＊　は、POWER、POWREとなるので、
このPOW＊＊の最初の文字が、POWER。

だから、
２４＋２４＋６＋２＋２＝５８番目の次が、POWER。
よって、

５８＋１＝５９番目

が答え。

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ⅡB：不等式の証明：相加相乗平均の使い方：『ab+2/(ab)≧2(√2)』：（高２）

不等式の証明のときに相加相乗平均を使うことがありますが、どうやって使うのでしょうか。

相加相乗平均
x+y 2 ≧√xy

右辺のxとyが、かけられている事に注目！

かけて文字が消える逆数の関係のものを、xとyにおきます。

では早速例題で見てみましょう！

題：ab + 2 ab ≧ 2√2

解答）
ab と 2ab をかけるとabが約分されて消えるね。
だから、公式を変形して

x+y≧2√xy
をつかい、
x=ab, y= 2ab として
（左辺）=ab + 2ab ≧2√ab・√2√ab 　←公式より。問題の2√2の右辺はほっとく。

2√ab・√2√ab 　=2√2　　　　　　　　　←計算して、問題の右辺と同じになった！

よって、ab + 2ab ≧ 2√2  　　　　　　　  不等号”＞”成立。

等号成立は・・・

ab + 2ab ＝ 2√2　　　　　←と”＝”のときも考える。等号成立も証明しないといけないよ。

両辺に、abをかけて、移項すると・・・

(ab)²-2√2ab +2=0

(ab-√2)²=0

よって、
ab=√2 のとき、等号成立。

おしまい。
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ⅡB：２次不等式：x^2-(a-3)x-2a+2>０を満たすｘの範囲：２次関数（高２）

２次不等式：x²-(a-3)x-2a+2>０を満たすｘの範囲

解法）
前回の(ｘ－a) (ｘ－b)≧0のように考えるために、因数分解をしよう。

x²-(a-3)x＋(-2a+2)をたすき掛けすると、
（-2a+2）=2(-a+1)だから・・・

x	+2	(-a+1)x
x	-a+1	2x
x2	2(-a+1)	(-a+3)x

x²-(a-3)x-2a+2>０は

(x + 2) (x -a +1) >0
(x + 2) (x -a +1)=0　の条件を考えると、
x=-2,x=a-１　が境になるね。（でも-2とa-1はどっちが大きいんだろう？）

この場合も①②③と場合わけしないとね。

-2<a-1・・・①　　計算すると、aは（-1<aのとき）
-2=a-1・・・②　　よって、(a=-1のとき）
a-1<-2・・・③　　よって、（a<-1のとき）

の大小関係が存在するね。aは（　）の条件がつくね。

今回は２次関数y=x²-(a-3)x-2a+2
x²-(a-3)x-2a+2>０
y>０
は下に凸でｘ軸より上の範囲をとるよ。


①と③は、下図。

このとき①は（図でa<ｂ）に倣って、
-2<a-1だから、
ⅰ）ｘ<-2 , a-1<x　（-1<aのとき）となるね。

また、③は　a-1<-2　より、
ⅱ）x<a-1 , -2<x （a<-1のとき）。




問題は②。
「-2=a-1・・・②　　よって、(a=-1のとき）」
a=-1 を　(x + 2) (x -a +1) >0 に代入すると、ｘがわかるから・・・
（x＋２）（ｘ－（－１）＋１）＞０
（ｘ＋２）² ＞０
よって、
ｘ＜-2,　-2＜xなので、ｘは-2を含まないんだ。つまり・・・、
”ⅲ）ｘ=２以外のすべての実数　(a=-1のとき）”という日本語が答えだね。

よって答えは、ⅰ）,ⅱ）,ⅲ）の３つの青を一緒に書くと・・・

ｘ<-2 , a-1<x　　　　（-1<aのとき）

ｘ＝２以外のすべての実数 　(a=-1のとき）

x<a-1 , -2<x 　　 　（a<-1のとき）

となります！答案は赤と青を書けばOK。グラフは書いたほうがわかりやすいと思うよ。

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ビューティーラッシュ

ブログで数式 ２乗を書く方法。

HTMLで<SUP></SUP>を付ければ良かったんですね。

HTMLで、

x²
とかくと、
x²
と表示されます！！

http://www.htmq.com/html/sup.shtml
↑参照させていただきました！

以前のもよかったんですが・・・
αやβが表示されなかったで（＾＾；）/

ⅡB：２次不等式：（ｘ－a）（ｘ－b）≦０を満たすｘの範囲：２次関数（高２）

２次不等式：（ｘ－a）（ｘ－b）≦０を満たすｘの範囲

では、（ｘ－a）（ｘ－b）≦０を解いてみよう。

解法）
まず、
a＜b　・・・①
a＝b　・・・②
b＜a　・・・③
の３通りがあるね。

左辺をｙと置くなら、
ｙ＝（ｘ－a）（ｘ－b）は２次関数だから、

①は、
a＜b　

 （ｘ－a）（ｘ－b）≦０　
つまり
y≦0  [(左辺)=ｙ＝（ｘ－a）（ｘ－b）]
つまり、青のｘ軸より下に存在する２次関数が
範囲だから、



答え ①
a≦x≦ｂ　(a＜bのとき)

 ②は、
a＝b　・・・②は下図。（赤丸は黒丸、aとbを含む。）

（ｘ－a）（ｘ－b）＝０　つまり　y＝0

ｙ＝０のときｘのとる範囲は１点、

答え②
ｘ=a=b　(a＝bのとき)






 ③は、
b＜a　・・・③は左図。
①と考えは同じだね。だから、






答え③
b≦x≦a　(b＜aのとき)








よって答えは、赤の答え①②③で書いたｘの範囲をまとめて書く。
 （ｘ－a）（ｘ－b）≦０を満たすｘの範囲は、
答え
a≦x≦ｂ　(a＜bのとき)
ｘ=a=b　(a＝bのとき)
b≦x≦a   (b＜aのとき)


となります。

お疲れ様でした☆

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ⅡB：円の方程式：『点（2,1）を通り、両座標軸に接する円の方程式』：図形と方程式（高2）

円の方程式：『点（2,1）を通り、両座標軸に接する円の方程式』

道具：(x-s)² +(y-t)² =r²
        両座標軸に接する⇒①中心（s,t）はy=±xを通る⇒中心(s,±s)と置く。
                                  　問題より点（2,1）が第一象限だから中心は(s,s)とする。
                                  ②半径の長さは中心のx座標（y座標）と同じなのでｒ=sと置く。

よって式は

(x-s)² +(y-s)² =s²

ある１点を通り、両座標軸に接する円は２つ存在します。

解法）
点P（2,1）を

(x-s)² +(y-s)² =s²

の（x,y）へ代入すると・・・

(2-s)² +(1-s)² =s²

展開して、右辺を移行すると、

s² -4s+4　+s² -2s+1　-s² =0

s² -6s+5=0

よって、

(s-1)(s-5)=0
s=1,5

これを (x-s)² +(y-s)² =s² に代入して、

(x-1)² +(y-1)² =1
(x-5)² +(y-5)² =25

の２式が答えです。

お疲れ様でした！
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ⅠA:数と式：降べきの順：『3x^2+xy-2x+2y-1』（高１）

3x² +xy -2x +2y -1をｘについて降べきの順にならべよ。

考え方：
①　ｘの次数の高いものから並べる。
②　各次数ごとのｘで因数分解する。

解法）
3x² +xy -2x+2y-1
=3x² +(y-2)x+(2y-1)  ; (y-2)をｘの係数とみなすように、ｘは後ろにつけよう。

以上です。

次へ＞＞『ⅠＡ:降べきの順②』も見てみる

動画の解説も見てね！

ⅡB：不等式の証明『|x|+1≧|x＋1|』：式と証明（高２）

『|x|+1≧|x＋1|』はどうやって解くのか。
（ブログの都合上、Aの２乗は、A^2）

不等式の証明は　A＾２　≧　B＾２　より　A＾２ － B＾２≧０
をつかって、平方完成しよう。（２乗を使わなくってもいい）
その式が自明（パッと見だれでも納得のとこまでもっていく。）不等号の証明。
そして、等号が成り立つ条件を書く。

今回は、絶対値がついてるから、２乗のを使おう。

解法）
(左辺)^2 - (右辺)^2=(|x| +1)＾２ - (|x+1|)＾２≧0   ：絶対値の２乗は必ず正だから、絶対値ははずれるよ。


（左辺）＝x^2+2|x|+1-x^2-2x-1

＝2|x|-2x
＝2(|x|-x)≧0　　　　　　　　　

|x|≧x  ・・・①                      ：自明。ｘが正のときは、＝だし、負のときは＞だよね。


これより、最初の計算式から、
(|x| +1)＾２ - (|x+1|)＾２≧0
(|x| +1)＾２ ≧ (|x+1|)＾２

となって、この２乗がとれれば、証明終了だね。
とれる条件は、

(|x| +1)≧0　,  (|x+1|)≧0      ：成り立つから

|x|+1≧|x＋1|

またここで、等号がなりたつ条件も書くよ。

①より、|x|≧x　は、
ｘ≧0　のとき

|x|=x

証明終了。

おつかれさまでした。

________________________________________________________
A＾２　≧　B＾２　のあとに、A≧Bとする前に、
A≧0とB≧0を書かなければいけないのはなぜか。
例えば、
２５≧９　は、
５＾２≧３＾２　　　　　　　・・・②　で成り立つけれど、
（－５）＾２≧（－３）＾２　・・・③　でも成り立つよね。

②は、５≧０,　３≧０　だから
○　５≧３　は成り立つね。

でも③は、-5≦0, -3≦0 となり、
×　-5≧-3　これはおかしいね。
つまりA,Bが負なら、A＾２　≧　B＾２がなりたっても、A≧Bが成り立たないってこと。

だから、
A＾２　≧　B＾２　　⇒　A ≧ B (A≧0, B≧0)

上の右矢印が成り立つときは（　）内の条件が必要なんだよ。

『逆は必ずしも真ではない！！』

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ブログでごはんは食べられるのか！？１

パソコンでごはんが食べられればいいですよね。

初ブログです。
googleのその他から[blogger]というものをみつけ、やってみてます。
どうなるか。

持ち前の職で、UPしていくつもりです。